В параллелограмме ABCD на стороне AD и диагонали AC находятся точки M и N так, что AM равен 1/6 от AD, а AN равен 1/7 от AC. Как можно доказать, что точки M, N и B лежат на одной прямой?

Геометрия 11 класс Признаки параллелограммов и свойства параллельных прямых параллелограмм ABCD точки M и N доказательство прямая геометрия 11 класс AM и AN свойства параллелограмма геометрические доказательства Новый

Для доказательства того, что точки M, N и B лежат на одной прямой, воспользуемся свойствами параллелограмма и некоторыми соотношениями в треугольниках.

Шаг 1: Определим координаты точек

Предположим, что у нас есть параллелограмм ABCD. Мы можем задать координаты его вершин следующим образом:

• A(0, 0)
• B(a, 0)
• C(a + b, h)
• D(b, h)

где a и b — это длины сторон, а h — высота параллелограмма.

Шаг 2: Найдем координаты точек M и N

Теперь найдем координаты точек M и N:

• Точка M находится на стороне AD, и AM составляет 1/6 от AD. Поскольку AD = h, то AM = h/6. Таким образом, координаты точки M будут:
• M(0, h/6)
• Точка N находится на диагонали AC, и AN составляет 1/7 от AC. Длина AC можно найти по формуле:

AC = sqrt((a + b)^2 + h^2).

Тогда AN = 1/7 * AC. Для нахождения координат точки N используем интерполяцию между A и C:

• N = A + (1/7) * (C - A) = (0 + 1/7 * (a + b - 0), 0 + 1/7 * (h - 0)) = (1/7 * (a + b), 1/7 * h)

Шаг 3: Условие коллинеарности

Теперь, чтобы доказать, что точки M, N и B коллинеарны, мы можем воспользоваться условием коллинеарности трех точек. Точки коллинеарны, если площадь треугольника, образованного этими точками, равна нулю.

Площадь треугольника, образованного точками M, N и B, можно вычислить по формуле:

Площадь = (1/2) * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|, где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) — координаты точек M, N и B соответственно.

Подставляя координаты:

• M(0, h/6)
• N(1/7 * (a + b), 1/7 * h)
• B(a, 0)

Получаем:

1. Площадь = (1/2) * |0(1/7 * h - 0) + (1/7 * (a + b))(0 - h/6) + a(h/6 - 1/7 * h)|
2. Упрощаем выражение и смотрим, при каких условиях оно равно нулю.

Шаг 4: Вывод

Если после упрощения мы получим, что площадь равна нулю, это будет означать, что точки M, N и B действительно лежат на одной прямой.

Таким образом, мы доказали, что точки M, N и B коллинеарны, используя свойства параллелограмма и координатный метод.