В параллелограмме ABCD на стороне AD и диагонали AC расположены точки H и M, соответственно, так что отношение AM к MC равно 2 к 3, а отношение AH к HD равно 1 к 2. Как можно выразить векторы BM, MN и CN через векторы a (AB) и b (AD)?

Геометрия 11 класс Векторы в геометрии параллелограмм ABCD векторы BM MN CN векторы a и b отношение AM к MC отношение AH к HD геометрия 11 класс задачи по геометрии векторы в параллелограмме Новый

Для начала давайте обозначим векторы, которые мы будем использовать в нашем решении:

• Вектор a = AB
• Вектор b = AD

Теперь определим координаты точек параллелограмма ABCD:

• Точка A = O (начало координат)
• Точка B = A + a
• Точка D = A + b
• Точка C = B + b = A + a + b

Теперь, зная расположение точек, можем найти координаты точек H и M.

1. Нахождение координат точки M

По условию, отношение AM к MC равно 2 к 3. Это значит, что M делит отрезок AC в отношении 2:3.

Координаты точки C мы уже нашли: C = A + a + b.

Тогда, используя параметрическое представление, можем записать координаты точки M:

M = (2/5)A + (3/5)C = (2/5)A + (3/5)(A + a + b) = (2/5)A + (3/5)A + (3/5)a + (3/5)b = (5/5)A + (3/5)a + (3/5)b = A + (3/5)a + (3/5)b.

2. Нахождение координат точки H

Теперь найдем координаты точки H. Она делит отрезок AD в отношении 1:2.

Координаты точки D = A + b. Тогда:

H = (1/3)A + (2/3)D = (1/3)A + (2/3)(A + b) = (1/3)A + (2/3)A + (2/3)b = (3/3)A + (2/3)b = A + (2/3)b.

3. Нахождение вектора BM

Теперь мы можем выразить вектор BM:

BM = M - B = (A + (3/5)a + (3/5)b) - (A + a) = (3/5)a + (3/5)b - a = (3/5)a + (3/5)b - (5/5)a = (-2/5)a + (3/5)b.

4. Нахождение вектора MN

Теперь найдем вектор MN. Для этого сначала найдем координаты точки N, которая является серединой отрезка HC. То есть:

N = (H + C) / 2 = ((A + (2/3)b) + (A + a + b)) / 2 = (2A + a + (5/3)b) / 2 = (1/2)(2A + a + (5/3)b).

Теперь выразим MN:

MN = N - M = [(1/2)(2A + a + (5/3)b)] - [A + (3/5)a + (3/5)b].

Упрощая, получим:

MN = [A + (1/2)a + (5/6)b] - [A + (3/5)a + (3/5)b] = (1/2)a + (5/6)b - (3/5)a - (3/5)b.

Теперь, чтобы привести к общему знаменателю, преобразуем:

MN = [(5/10)a - (6/10)a] + [(25/30)b - (18/30)b] = (-1/10)a + (7/30)b.

5. Нахождение вектора CN

Теперь найдем вектор CN:

CN = N - C = [(1/2)(2A + a + (5/3)b)] - [A + a + b].

Упрощая, получаем:

CN = [(1/2)(2A + a + (5/3)b)] - [A + a + b] = [(1/2)(2A + a + (5/3)b)] - [A + (3/3)a + (3/3)b].

Приводим к общему знаменателю:

CN = [(1/2)(2A + a + (5/3)b) - (2/2)A - (3/3)a - (3/3)b] = [(1/2)(2A) - (2/2)A] + [(1/2)a - (3/3)a] + [(5/6)b - (3/3)b].

Таким образом, CN = (1/2)a - (3/6)a + (5/6)b - (6/6)b = (-1/6)a - (1/6)b.

Итак, векторы BM, MN и CN можно выразить следующим образом:

• BM = (-2/5)a + (3/5)b
• MN = (-1/10)a + (7/30)b
• CN = (-1/6)a - (1/6)b