В правильной четырехугольной пирамиде FABCD, где все ребра имеют длину 2 см, каково значение произведения вектора FA на вектор AC?

Геометрия 11 класс Векторы и их произведения в пространстве правильная четырехугольная пирамида вектор FA вектор AC произведение векторов геометрия 11 класс длина ребер 2 см Новый

Чтобы найти значение произведения вектора FA на вектор AC в правильной четырехугольной пирамиде FABCD, начнем с определения координат всех точек этой пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде основание — квадрат ABCD, а вершина — точка F. Поскольку все ребра имеют длину 2 см, можем установить координаты следующим образом:

• Точка A(0, 0, 0)
• Точка B(2, 0, 0)
• Точка C(2, 2, 0)
• Точка D(0, 2, 0)
• Точка F(1, 1, 2), где 1 — это центр основания, а 2 — высота пирамиды.

Теперь найдем векторы FA и AC:

1. Вектор FA:
   • FA = A - F = (0, 0, 0) - (1, 1, 2) = (-1, -1, -2)
2. Вектор AC:
   • AC = C - A = (2, 2, 0) - (0, 0, 0) = (2, 2, 0)

Теперь найдем произведение векторов FA и AC. Для этого используем формулу векторного произведения:

Векторное произведение двух векторов (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) рассчитывается по формуле:

(x1, y1, z1) × (x2, y2, z2) = (y1*z2 - z1*y2, z1*x2 - x1*z2, x1*y2 - y1*x2)

Подставим наши векторы FA и AC:

• FA = (-1, -1, -2)
• AC = (2, 2, 0)

Теперь вычислим компоненты векторного произведения:

• 1-я компонента: (-1)*0 - (-2)*2 = 0 + 4 = 4
• 2-я компонента: (-2)*2 - (-1)*0 = -4 - 0 = -4
• 3-я компонента: (-1)*2 - (-1)*2 = -2 + 2 = 0

Таким образом, векторное произведение FA и AC равно (4, -4, 0).

Теперь найдем длину этого векторного произведения, которая является искомым значением:

Длина вектора (x, y, z) вычисляется по формуле:

√(x^2 + y^2 + z^2)

Подставим наши значения:

√(4^2 + (-4)^2 + 0^2) = √(16 + 16 + 0) = √32 = 4√2.

Таким образом, значение произведения вектора FA на вектор AC равно 4√2.