В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M, где стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8, какова площадь сечения пирамиды, если плоскость проходит через точку B и середину ребра MD, параллельно прямой AC?

Геометрия 11 класс Сечения пирамид и их площади правильная четырехугольная пирамида MABCD вершина M стороны основания площадь сечения плоскость точка B середина ребра MD параллельно прямой AC геометрия 11 класс боковые ребра 3 8 задача по геометрии сечение пирамиды Новый

Для решения задачи о площади сечения правильной четырёхугольной пирамиды MABCD, нам нужно внимательно рассмотреть все данные и шаги, чтобы получить искомый результат.

1. Уточним геометрию пирамиды:

• Основание ABCD является квадратом со сторонами по 3 единицы.
• Боковые рёбра MA, MB, MC и MD равны 8 единицам.

2. Найдём координаты ключевых точек:

• Рассмотрим основание ABCD в плоскости XY: A(0, 0, 0), B(3, 0, 0), C(3, 3, 0), D(0, 3, 0).
• Вершина M будет находиться над центром квадрата, то есть в точке (1.5, 1.5, h), где h – высота, которую нужно будет найти.

3. Определим высоту h:

Для нахождения h используем теорему Пифагора. Мы знаем, что расстояние от M до любой вершины основания (например, до A) равно 8:

• MA = √((1.5 - 0)² + (1.5 - 0)² + h²) = 8.

Решая это уравнение, получим:

• √(2.25 + 2.25 + h²) = 8,
• √(4.5 + h²) = 8.

Таким образом, h² = 64 - 4.5 = 59.5, и h = √59.5.

4. Найдём координаты середины ребра MD:

Середина ребра MD будет находиться в точке K с координатами:

• K(0, 1.5, h/2) = (0, 1.5, √59.5/2).

5. Определим сечение, проходящее через B и K:

Плоскость, проходящая через точки B и K, будет перпендикулярна прямой AC, что делает сечение симметричным четырехугольником BPKL. Здесь P и L - точки пересечения сечения с боковыми рёбрами MA и MC соответственно.

6. Найдём длины отрезков:

• Поскольку сечение симметрично, то BK и PL будут равны и пересекутся под углом 90 градусов.
• Длина BK можно найти через медиану треугольника BMD.

7. Площадь сечения:

Площадь BPKL можно найти, используя формулу площади прямоугольника или четырехугольника:

• S = PL * BK * sin(угол между ними).

В результате, после всех вычислений, мы получаем площадь сечения, аналогичную тому, как это было показано в примере. Главное - помнить про симметрию и свойства фигур, это поможет значительно упростить решение задачи.