Для решения задачи начнем с анализа правильной четырехугольной пирамиды QABCD. В этой пирамиде основание ABCD является квадратом, а точка Q - вершина пирамиды, находящаяся над центром основания.

Шаг 1: Найдем длину стороны основания.

Поскольку диагональ квадрата ABCD равна 24, можем использовать формулу для диагонали квадрата:

d = a * sqrt(2),

где d - диагональ, a - длина стороны квадрата.

Подставим известное значение:

24 = a * sqrt(2).

Теперь выразим a:

a = 24 / sqrt(2) = 12 * sqrt(2).

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды.

Известно, что боковое ребро пирамиды равно 13. Чтобы найти высоту пирамиды, воспользуемся прямоугольным треугольником, образованным высотой, половиной диагонали квадрата и боковым ребром.

Половина диагонали квадрата равна:

h = sqrt(2) * (a / 2) = sqrt(2) * (12 * sqrt(2) / 2) = 12.

Теперь применим теорему Пифагора:

h^2 + (12)^2 = (13)^2.

h^2 + 144 = 169.

h^2 = 25.

h = 5.

Шаг 3: Найдем координаты точек.

Рассмотрим координаты точек:

• Q(0, 0, 5)
• A(-12, -12, 0)
• B(12, -12, 0)
• C(12, 12, 0)
• D(-12, 12, 0)

Шаг 4: Находим середины ребер BC и CD.

Середина ребра BC:

M1 = ((12 + 12) / 2, (-12 + 12) / 2, (0 + 0) / 2) = (12, 0, 0).

Середина ребра CD:

M2 = ((12 + -12) / 2, (12 + 12) / 2, (0 + 0) / 2) = (0, 12, 0).

Шаг 5: Находим уравнение плоскости.

Плоскость проходит через точки Q(0, 0, 5), M1(12, 0, 0) и M2(0, 12, 0). Для нахождения уравнения плоскости воспользуемся векторным методом. Нам нужно найти векторы:

• QM1 = M1 - Q = (12, 0, -5)
• QM2 = M2 - Q = (0, 12, -5)

Теперь найдем векторное произведение QM1 и QM2, чтобы получить нормальный вектор плоскости:

N = QM1 x QM2 = |i j k|

|12 0 -5|

|0 12 -5|

N = (60, 60, 144).

Шаг 6: Находим площадь сечения.

Сечение будет треугольником с вершинами Q, M1 и M2. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = (1/2) * |QM1 x QM2|.

Найдём модуль векторного произведения:

|N| = sqrt(60^2 + 60^2 + 144^2) = sqrt(3600 + 3600 + 20736) = sqrt(28800) = 120.

Теперь подставим в формулу для площади:

S = (1/2) * 120 = 60.

Шаг 7: Найдем S^2.

S^2 = 60^2 = 3600.

Ответ: Значение выражения S^2 равно 3600.