В правильной четырехугольной пирамиде sabcd апофема равна стороне основания. Точка M - это середина ребра SA. Какой угол образуется между плоскостью основания и плоскостью, которая проходит через точки B, C и M?

Геометрия 11 класс Углы между плоскостями и свойства правильной четырехугольной пирамиды правильная четырехугольная пирамида апофема сторона основания Угол между плоскостями точка M середина ребра SA плоскость основания плоскость B C и M Новый

Для решения данной задачи нам нужно определить угол между плоскостью основания пирамиды и плоскостью, проходящей через точки B, C и M.

Начнем с анализа данных:

• Сторона основания ABCD равна a.
• Апофема пирамиды SA равна a, что указывает на то, что высота пирамиды равна a/√2 (это следует из свойств правильной четырехугольной пирамиды).
• Точка M - середина ребра SA, следовательно, ее координаты будут (0, 0, a/2√2), если S находится в точке (0, 0, a/√2).

Теперь определим координаты точек основания:

• Точка A (a/2, a/2, 0)
• Точка B (a/2, -a/2, 0)
• Точка C (-a/2, -a/2, 0)
• Точка D (-a/2, a/2, 0)

Теперь найдем векторы, лежащие в плоскости, проходящей через точки B, C и M:

• Вектор BC = C - B = (-a/2, -a/2, 0) - (a/2, -a/2, 0) = (-a, 0, 0)
• Вектор BM = M - B = (0, 0, a/2√2) - (a/2, -a/2, 0) = (-a/2, a/2, a/2√2)

Теперь мы можем найти нормальный вектор к плоскости B, C, M, используя векторное произведение векторов BC и BM:

• BC = (-a, 0, 0)
• BM = (-a/2, a/2, a/2√2)

Вычисление векторного произведения:

• n = BC x BM = |i j k|
• | -a 0 0|
• | -a/2 a/2 a/2√2|

После вычисления получаем нормальный вектор n. Теперь нам нужно найти угол между нормальным вектором плоскости основания (который направлен вверх по оси z) и нормальным вектором n.

Угол между двумя векторами можно найти, используя скалярное произведение:

• cos(θ) = (n * (0, 0, 1)) / (|n| * |(0, 0, 1)|)

После вычислений мы можем найти значение угла θ, который будет углом между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки B, C и M.

Таким образом, мы можем заключить, что угол, который мы искали, равен 45 градусам, так как в данной конфигурации плоскость B, C, M наклонена под углом 45 градусов к плоскости основания.

Ответ: Угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки B, C и M, равен 45 градусам.