Для решения задачи сначала рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду, у которой основание – квадрат. Обозначим вершину пирамиды как A, а вершины основания как B, C, D и E. Угол между гранями при основании равен 60 градусов.

Шаг 1: Определение высоты пирамиды

• Известно, что угол между гранями при основании равен 60 градусов. Это означает, что угол между вертикальной высотой пирамиды и линией, проведенной от вершины до середины стороны основания, также составляет 60 градусов.
• Обозначим высоту пирамиды как h, а длину стороны основания как a. Тогда, согласно тригонометрии, можно выразить высоту через сторону основания: h = (a/2) * sqrt(3).

Шаг 2: Объем пирамиды

• Объем V правильной четырехугольной пирамиды вычисляется по формуле: V = (1/3) * S * h, где S – площадь основания.
• Площадь основания S = a^2, следовательно, объем пирамиды будет: V = (1/3) * a^2 * h = (1/3) * a^2 * (a/2) * sqrt(3) = (a^3 * sqrt(3)) / 6.

Шаг 3: Проведение плоскости сечения

• Плоскость сечения проходит через одно из ребер пирамиды, образуя угол 30 градусов с плоскостью основания. Это значит, что сечение будет делить пирамиду на две части.
• Сечение будет проходить через точку на ребре, и эта точка будет находиться на высоте, которая определяется углом 30 градусов. Высота сечения h1 будет равна h * sin(30) = h/2.

Шаг 4: Объем частей пирамиды

• Объем нижней части пирамиды (V1) будет равен объему пирамиды с высотой h1: V1 = (1/3) * S * h1 = (1/3) * a^2 * (h/2) = (a^3 * sqrt(3)) / 12.
• Объем верхней части пирамиды (V2) равен V - V1: V2 = V - V1 = (a^3 * sqrt(3)) / 6 - (a^3 * sqrt(3)) / 12 = (a^3 * sqrt(3)) / 12.

Шаг 5: Определение отношения объемов

• Теперь мы можем найти отношение объемов V1 и V2: V1 : V2 = (a^3 * sqrt(3)) / 12 : (a^3 * sqrt(3)) / 12 = 1 : 1.

Ответ: Отношение объемов полученных частей пирамиды равно 1 : 1.