В правильной четырехугольной пирамиде угол между гранями при основании составляет 60 градусов. Если провести плоскость сечения через ребро этой пирамиды, образующую угол 30 градусов с плоскостью основания, каково отношение объемов полученных частей пирамиды?

Желательно с рисунком.

Геометрия 11 класс Объемы сечений пирамид правильная четырехугольная пирамида угол между гранями плоскость сечения объемы частей пирамиды угол 30 градусов геометрические задачи геометрия 11 класс Новый

Для решения задачи сначала рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду, у которой основание – квадрат. Обозначим вершину пирамиды как A, а вершины основания как B, C, D и E. Угол между гранями при основании равен 60 градусов.

Шаг 1: Определение высоты пирамиды

• Известно, что угол между гранями при основании равен 60 градусов. Это означает, что угол между вертикальной высотой пирамиды и линией, проведенной от вершины до середины стороны основания, также составляет 60 градусов.
• Обозначим высоту пирамиды как h, а длину стороны основания как a. Тогда, согласно тригонометрии, можно выразить высоту через сторону основания: h = (a/2) * sqrt(3).

Шаг 2: Объем пирамиды

• Объем V правильной четырехугольной пирамиды вычисляется по формуле: V = (1/3) * S * h, где S – площадь основания.
• Площадь основания S = a^2, следовательно, объем пирамиды будет: V = (1/3) * a^2 * h = (1/3) * a^2 * (a/2) * sqrt(3) = (a^3 * sqrt(3)) / 6.

Шаг 3: Проведение плоскости сечения

• Плоскость сечения проходит через одно из ребер пирамиды, образуя угол 30 градусов с плоскостью основания. Это значит, что сечение будет делить пирамиду на две части.
• Сечение будет проходить через точку на ребре, и эта точка будет находиться на высоте, которая определяется углом 30 градусов. Высота сечения h1 будет равна h * sin(30) = h/2.

Шаг 4: Объем частей пирамиды

• Объем нижней части пирамиды (V1) будет равен объему пирамиды с высотой h1: V1 = (1/3) * S * h1 = (1/3) * a^2 * (h/2) = (a^3 * sqrt(3)) / 12.
• Объем верхней части пирамиды (V2) равен V - V1: V2 = V - V1 = (a^3 * sqrt(3)) / 6 - (a^3 * sqrt(3)) / 12 = (a^3 * sqrt(3)) / 12.

Шаг 5: Определение отношения объемов

• Теперь мы можем найти отношение объемов V1 и V2: V1 : V2 = (a^3 * sqrt(3)) / 12 : (a^3 * sqrt(3)) / 12 = 1 : 1.

Ответ: Отношение объемов полученных частей пирамиды равно 1 : 1.