В правильной четырехугольной призме, где боковое ребро равно стороне основания, как можно определить угол между диагоналями призмы и диагональю боковой грани, которая с ней скрещивается?

Геометрия 11 класс Углы между диагоналями и их свойства в пространственных фигурах правильная четырехугольная призма угол между диагоналями боковая грань геометрия 11 класс свойства призмы Новый

Чтобы определить угол между диагоналями правильной четырехугольной призмы и диагональю боковой грани, которая с ней скрещивается, давайте рассмотрим несколько шагов.

Шаг 1: Определение структуры призмы

• Правильная четырехугольная призма состоит из двух квадратных оснований и четырех прямоугольных боковых граней.
• Обозначим стороны основания квадрата как a. Так как боковое ребро равно стороне основания, то длина бокового ребра также равна a.

Шаг 2: Определение точек и векторов

• Обозначим вершины нижнего основания как A, B, C и D, а верхнего основания как A', B', C' и D'.
• Диагонали основания ABCD: AC и BD. Выберем, например, диагональ AC.
• Диагональ боковой грани, например, A'B', будет соединять вершины верхнего и нижнего основания.

Шаг 3: Векторы диагоналей

• Вектор диагонали AC можно записать как:
  • AC = C - A = (a, 0, 0) - (0, 0, 0) = (a, 0, 0).
• Вектор диагонали A'B' можно записать как:
  • A'B' = B' - A' = (a, a, a) - (0, 0, a) = (a, a, 0).

Шаг 4: Определение угла между векторами

• Угол между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения:
• cos(θ) = (AC • A'B') / (|AC| * |A'B'|),
• где AC • A'B' - скалярное произведение векторов, а |AC| и |A'B'| - их длины.

Шаг 5: Вычисление скалярного произведения и длин векторов

• Скалярное произведение AC • A'B' = (a, 0, 0) • (a, a, 0) = a^2.
• Длина вектора AC: |AC| = √(a^2 + 0^2 + 0^2) = a.
• Длина вектора A'B': |A'B'| = √(a^2 + a^2 + 0^2) = √(2a^2) = a√2.

Шаг 6: Подстановка значений в формулу

• Теперь подставим все значения в формулу для угла:
• cos(θ) = a^2 / (a * a√2) = 1 / √2.
• Таким образом, θ = 45°.

В итоге, угол между диагоналями призмы и диагональю боковой грани, которая с ними скрещивается, равен 45°. Это решение позволяет понять, как использовать векторы и геометрические свойства правильной призмы для нахождения углов между различными элементами ее структуры.