В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB равна 2√3, а боковое ребро SA равно √39. Какое расстояние от вершины D до плоскости FAS?

Геометрия 11 класс "Пирамиды и расстояния до плоскости геометрия 11 класс правильная шестиугольная пирамида расстояние от точки до плоскости боковое ребро плоскость FAS задача по геометрии вычисление расстояния Новый

Для решения данной задачи начнем с того, что у нас есть правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с основанием в виде правильного шестиугольника и вершиной S. Исходные данные: сторона основания AB равна 2√3, а боковое ребро SA равно √39.

Шаг 1: Находим высоту пирамиды.

Сначала найдем высоту h пирамиды, которая будет перпендикулярна плоскости основания ABCDEF и проходит через вершину S. Для этого нам нужно определить радиус описанной окружности R правильного шестиугольника.

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника можно вычислить по формуле:

• R = a, где a - сторона шестиугольника.

Так как сторона AB равна 2√3, то R = 2√3.

Следовательно, высота h пирамиды может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного высотой h, радиусом R и боковым ребром SA:

• h^2 + R^2 = SA^2.

Подставим известные значения:

• h^2 + (2√3)^2 = (√39)^2.
• h^2 + 12 = 39.
• h^2 = 39 - 12 = 27.
• h = √27 = 3√3.

Шаг 2: Находим координаты точек.

Предположим, что основание шестиугольника расположено в плоскости XY, а вершина S находится над центром шестиугольника. Центр шестиугольника O будет в точке (0, 0, 0), а координаты вершин A, B, C, D, E, F можно определить следующим образом:

• A = (R, 0, 0) = (2√3, 0, 0),
• B = (R/2, R√3/2, 0) = (√3, 3, 0),
• C = (-R/2, R√3/2, 0) = (-√3, 3, 0),
• D = (-R, 0, 0) = (-2√3, 0, 0),
• E = (-R/2, -R√3/2, 0) = (-√3, -3, 0),
• F = (R/2, -R√3/2, 0) = (√3, -3, 0),
• S = (0, 0, h) = (0, 0, 3√3).

Шаг 3: Находим уравнение плоскости FAS.

Для нахождения расстояния от точки D до плоскости FAS, сначала найдем уравнение плоскости, проходящей через точки F, A и S. Для этого нам нужно найти векторы FA и FS:

• FA = A - F = (2√3 - √3, 0 + 3, 0) = (√3, 3, 0),
• FS = S - F = (0 - √3, 0 + 3, 3√3) = (-√3, 3, 3√3).

Теперь найдем векторное произведение FA и FS, чтобы получить нормальный вектор плоскости:

• N = FA x FS.

Вычисляя это произведение, мы получим нормальный вектор плоскости.

Шаг 4: Находим расстояние от точки D до плоскости FAS.

Расстояние от точки D до плоскости можно найти по формуле:

• d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2),

где (A, B, C) - координаты нормального вектора плоскости, а D - свободный член уравнения плоскости.

После подстановки всех значений вы получите искомое расстояние от вершины D до плоскости FAS.