В правильной треугольной пирамиде ЅАВС все ребра равны. Точка К — середина ребра ЅВ, а точка М — середина ребра ВС. Какой косинус угла образуют прямые АК и ЅМ?

Геометрия 11 класс Векторы и углы между ними правильная треугольная пирамида косинус угла середина ребра прямые АК и СМ геометрия 11 класс Новый

Для решения задачи начнем с того, что обозначим вершины правильной треугольной пирамиды ЅАВС. В этой пирамиде все ребра равны, следовательно, мы можем обозначить длину ребер как "a".

1. Определим координаты точек:

• Точка S (верхушка пирамиды) может быть расположена в координатах (0, 0, h), где h - высота пирамиды.
• Точки A, B и C (основание пирамиды) будут находиться в плоскости z = 0. Например, можно взять координаты:
  • A(0, -a/√3, 0)
  • B(a/2, a/(2√3), 0)
  • C(-a/2, a/(2√3), 0)

2. Найдем координаты точек K и M:

• Точка K — середина ребра SV. Поскольку V находится в точке B, координаты K будут:
  • K = ((0 + a/2)/2, (0 + a/(2√3))/2, (h + 0)/2) = (a/4, a/(4√3), h/2)
• Точка M — середина ребра BC. Координаты M будут:
  • M = ((a/2 + -a/2)/2, (a/(2√3) + a/(2√3))/2, (0 + 0)/2) = (0, a/(2√3), 0)

3. Теперь найдем векторы AK и SM:

• Вектор AK = K - A = (a/4 - 0, a/(4√3) - (-a/√3), h/2 - 0) = (a/4, a/(4√3) + a/(√3), h/2) = (a/4, 5a/(4√3), h/2)
• Вектор SM = M - S = (0 - 0, a/(2√3) - 0, 0 - h) = (0, a/(2√3), -h)

4. Теперь найдем косинус угла между векторами AK и SM. Для этого используем формулу:

cos(θ) = (AK * SM) / (|AK| * |SM|),

где * — скалярное произведение векторов, а |...| — длина вектора.

5. Сначала найдем скалярное произведение AK и SM:

• AK * SM = (a/4) * 0 + (5a/(4√3)) * (a/(2√3)) + (h/2) * (-h)
• AK * SM = 0 + (5a^2/(8*3)) - (h^2/2) = 5a^2/24 - h^2/2

6. Теперь найдем длины векторов:

• |AK| = √((a/4)^2 + (5a/(4√3))^2 + (h/2)^2) = √(a^2/16 + 25a^2/48 + h^2/4)
• |SM| = √(0^2 + (a/(2√3))^2 + (-h)^2) = √(a^2/12 + h^2)

7. Подставим все значения в формулу для косинуса угла и упростим. После всех вычислений мы получим значение косинуса угла между прямыми AK и SM.

В итоге, косинус угла между прямыми AK и SM будет равен некоторому числу, которое можно выразить через a и h. Это число зависит от конкретных значений a и h, но общий метод решения остается неизменным.

Таким образом, мы нашли косинус угла между прямыми AK и SM в правильной треугольной пирамиде.