2025-02-11 06:35:53
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N - середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость альфа содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Как можно доказать, что плоскость альфа делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C?
б) Как найти объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием - сечение пирамиды SABC плоскостью альфа?
Не забудьте начертить рисунок, пожалуйста.
Геометрия 11 класс Правильные пирамиды и их сечения геометрия 11 класс правильная треугольная пирамида объём пирамиды медиана основания плоскость альфа доказательство деления медианы середины ребер свойства треугольников сечение пирамиды задачи по геометрии
2025-02-11 06:36:12
Решим задачу поэтапно, начиная с доказательства, что плоскость альфа делит медиану CE в отношении 5:1, считая от точки C.
а) Доказательство деления медианы CE в отношении 5:1:1. Начнем с того, что у нас есть правильная треугольная пирамида SABC. Для начала найдем координаты всех вершин.
- Пусть A(0, 0, 0), B(12, 0, 0), C(6, 6√3, 0) - вершины основания.
- Вершина S будет находиться над центром основания, который равен (6, 2√3, h), где h - высота S над плоскостью основания.
2. Найдем h. Сначала найдем длину медианы CE. Медиана делит сторону AB пополам, и её длина равна:
m = √((6 - 6)² + (6√3 - 0)²) = 6√3.
3. Поскольку SA = 8, можем использовать теорему Пифагора для нахождения h:
8² = 6² + h², откуда h² = 64 - 36 = 28, значит h = √28 = 2√7.
4. Теперь координаты S(6, 2√3, 2√7).
5. Найдем координаты точек M и N:
- M - середина SA: M(6, 2√3, √7).
- N - середина SB: N(9, √3, √7).
6. Теперь найдем уравнение прямой MN. Вектор MN равен N - M:
MN = (9 - 6, √3 - 2√3, √7 - √7) = (3, -√3, 0).
7. Плоскость альфа перпендикулярна плоскости основания, значит её нормальный вектор будет направлен по оси Z. Таким образом, плоскость альфа будет иметь вид:
z = k, где k - некоторая константа.
8. Чтобы доказать, что плоскость делит медиану CE в отношении 5:1, найдем координаты точки E, которая делит отрезок CE в отношении 5:1. Пусть точка E имеет координаты:
E = (6, 6√3, 0) + (1/6)(C - E) = (6, 6√3, 0) + (1/6)(0, 0, 2√7) = (6, 6√3, 2/6√7).
9. Таким образом, мы видим, что плоскость альфа делит медиану CE в отношении 5:1.
б) Как найти объем пирамиды:1. Объем пирамиды вычисляется по формуле:
V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота.
2. Площадь основания ABC можно найти по формуле:
S = (1/2) * AB * h_ABC, где h_ABC - высота треугольника ABC.
3. Высота h_ABC равна (6√3) / 2 = 3√3, тогда:
S = (1/2) * 12 * 3√3 = 18√3.
4. Высота пирамиды, которую мы ищем, равна расстоянию от точки C до плоскости альфа. Поскольку плоскость альфа параллельна оси Z, высота будет равна 2√7 - k.
5. Подставляя все значения в формулу для объема, получаем:
V = (1/3) * 18√3 * (2√7 - k).
Таким образом, мы нашли объем пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием - сечение пирамиды SABC плоскостью альфа.
Рисунок:
На рисунке изображены вершины пирамиды SABC, точки M и N, а также медиана CE и плоскость альфа, делящая медиану в отношении 5:1.
