Чтобы найти высоту правильной треугольной пирамиды, нам нужно использовать некоторые свойства треугольника и треугольной пирамиды.

Давайте обозначим:

• S - сторона основания пирамиды, равная 4 корня из 3 см;
• V - вершина пирамиды;
• H - высота пирамиды, которую мы ищем;
• O - центр основания.

Так как основание пирамиды является правильным треугольником, мы можем найти его высоту и радиус описанной окружности.

1. **Находим высоту треугольника ABC (основание пирамиды):**

• В правильном треугольнике высота h равна (S * корень из 3) / 2.
• Подставляем значение S:
• h = (4√3 * √3) / 2 = (4 * 3) / 2 = 6 см.

2. **Находим радиус описанной окружности R (центр основания):**

• Радиус R равен (S * корень из 3) / 3.
• Подставляем значение S:
• R = (4√3 * √3) / 3 = (4 * 3) / 3 = 4 см.

3. **Теперь мы можем использовать угол при вершине:**

Угол при вершине V (90 градусов) означает, что высота H, проведенная из вершины V к центру основания O, будет перпендикулярна основанию.

4. **Используем треугольник VHO (где H - основание высоты):**

• Треугольник VHO является прямоугольным, где VO = R = 4 см и угол VOH = 90 градусов.
• Используем теорему Пифагора для нахождения высоты H:

H^2 + R^2 = VO^2, где VO - длина от V до O (высота пирамиды).

• H^2 + 4^2 = (VO)².
• H^2 + 16 = (4√2)² (так как угол 90 градусов, это равнобедренный треугольник).
• H^2 + 16 = 32.
• H^2 = 32 - 16 = 16.
• H = √16 = 4 см.

Ответ: Высота правильной треугольной пирамиды составляет 4 см.