В правильной треугольной призме A...C1, где все ребра равны 1, точки D и E являются серединами ребер A1B1 и B1C1. Какой косинус угла образуют прямые AD и BE?

Геометрия 11 класс Косинус угла между прямыми в пространстве геометрия правильная треугольная призма косинус угла прямые AD и BE середины ребер задачи по геометрии 11 класс геометрия Новый

Для решения этой задачи нам нужно сначала определить координаты всех ключевых точек в правильной треугольной призме A...C1. Так как все ребра призмы равны 1, мы можем задать координаты следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(0.5, sqrt(3)/2, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(0.5, sqrt(3)/2, 1)

Теперь найдем координаты точек D и E, которые являются серединами ребер A1B1 и B1C1 соответственно:

• D = ((0 + 1)/2, 0, (1 + 1)/2) = (0.5, 0, 1)
• E = ((1 + 0.5)/2, 0, (1 + sqrt(3)/2)/2) = (0.75, 0, 1)

Теперь у нас есть координаты точек A, D, B и E. Следующий шаг — найти векторы AD и BE:

• Вектор AD = D - A = (0.5 - 0, 0 - 0, 1 - 0) = (0.5, 0, 1)
• Вектор BE = E - B = (0.75 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-0.25, 0, 1)

Теперь мы можем найти косинус угла между векторами AD и BE. Для этого используем формулу:

cos(θ) = (AD • BE) / (|AD| * |BE|),

где "•" — это скалярное произведение векторов, а |AD| и |BE| — их длины.

Сначала найдем скалярное произведение AD и BE:

• AD • BE = (0.5 * -0.25) + (0 * 0) + (1 * 1) = -0.125 + 0 + 1 = 0.875

Теперь найдем длины векторов AD и BE:

• |AD| = sqrt((0.5)^2 + 0^2 + (1)^2) = sqrt(0.25 + 0 + 1) = sqrt(1.25) = sqrt(5)/2
• |BE| = sqrt((-0.25)^2 + 0^2 + (1)^2) = sqrt(0.0625 + 0 + 1) = sqrt(1.0625) = sqrt(17)/4

Теперь подставим все значения в формулу для косинуса:

cos(θ) = 0.875 / (sqrt(5)/2 * sqrt(17)/4).

Упрощаем выражение:

cos(θ) = 0.875 / (sqrt(85)/8) = 0.875 * (8/sqrt(85)) = 7/sqrt(85).

Таким образом, косинус угла между прямыми AD и BE равен 7/sqrt(85).