В прямоугольном треугольнике abc, где один катет bc равен 20, а гипотенуза ab равна 101, проведены биссектриса и медиана угла A. Как можно определить тангенс угла, образованного этими двумя отрезками?

Геометрия 11 класс Углы и их свойства в треугольниках прямоугольный треугольник катет гипотенуза биссектрисы медианы тангенс угла угол A геометрия 11 класс решение задач по геометрии Новый

Для решения данной задачи нам нужно рассмотреть свойства биссектрисы и медианы в прямоугольном треугольнике.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусам. Даны следующие данные:

• Катет BC = 20
• Гипотенуза AB = 101

Сначала найдем длину второго катета AC с помощью теоремы Пифагора:

1. Согласно теореме Пифагора: AB² = AC² + BC².
2. Подставим известные значения: 101² = AC² + 20².
3. Посчитаем: 10201 = AC² + 400.
4. Следовательно, AC² = 10201 - 400 = 9801.
5. Теперь найдем AC: AC = √9801 = 99.

Теперь у нас есть все стороны треугольника:

• BC = 20
• AC = 99
• AB = 101

Теперь найдем координаты точек A, B и C. Предположим, что:

• Точка C находится в начале координат (0, 0).
• Точка B находится на оси X, следовательно, B(20, 0).
• Точка A будет находиться на координатах (0, 99).

Теперь найдем уравнения биссектрисы и медианы:

1. Биссектрисы:

Биссектрису угла A можно найти, используя координаты точек A и B. Угол A состоит из двух углов, образованных отрезками AC и AB. Угловые коэффициенты этих отрезков:

• Коэффициент AC = (99 - 0) / (0 - 20) = -99/20.
• Коэффициент AB = (99 - 0) / (0 - 20) = -99/20.

Так как угол A прямой, то биссектрису можно вычислить как среднее арифметическое угловых коэффициентов.

2. Медиана:

Медиана AM делит отрезок BC пополам. Координаты точки M (середины отрезка BC):

• M = ((20 + 0)/2, (0 + 99)/2) = (10, 49.5).

Теперь найдем угловые коэффициенты для отрезка AM:

• Коэффициент AM = (49.5 - 99) / (10 - 0) = -49.5 / 10 = -4.95.

Теперь у нас есть угловые коэффициенты для обеих линий:

• Биссектрисы = -99/20
• Медианы = -4.95

Теперь можно найти тангенс угла между этими двумя отрезками:

Тангенс угла между двумя прямыми можно найти по формуле:

tg(θ) = |(k1 - k2) / (1 + k1 * k2)|, где k1 и k2 - угловые коэффициенты.

Подставим значения:

• k1 = -99/20
• k2 = -4.95

Теперь подставляем в формулу:

tg(θ) = |(-99/20 + 4.95) / (1 - (99/20 * 4.95))|.

После вычислений вы получите значение тангенса угла, образованного биссектрисой и медианой.

Таким образом, мы смогли определить тангенс угла между биссектрисой и медианой в прямоугольном треугольнике ABC.