В прямоугольном треугольнике биссектрисa угла в 90 градусов делит гипотенузу в соотношении 1:3. Какое соотношение образует высота, опущенная на гипотенузу?

Геометрия 11 класс Биссектрисы и высоты в треугольниках прямоугольный треугольник биссектрисa Углы гипотенуза соотношение высота геометрия 11 класс Новый

Для решения данной задачи сначала давайте вспомним некоторые свойства прямоугольного треугольника и биссектрисы.

В прямоугольном треугольнике, если биссектрисa угла в 90 градусов делит гипотенузу в соотношении 1:3, это означает, что одна часть гипотенузы составляет 1 часть, а другая - 3 части. Обозначим гипотенузу как AB, где A и B - вершины прямоугольного треугольника, а C - вершина, образующая прямой угол.

Пусть точка D - это точка деления гипотенузы AB. Тогда, согласно условию, мы можем записать:

• AD = x (1 часть)
• DB = 3x (3 части)

Таким образом, вся гипотенуза AB будет равна:

AB = AD + DB = x + 3x = 4x.

Теперь давайте рассмотрим высоту CH, опущенную из вершины C на гипотенузу AB. В прямоугольном треугольнике существует важное свойство, которое говорит о том, что высота, проведенная к гипотенузе, делит её на отрезки, пропорциональные длинам катетов.

Обозначим катеты AC и BC как a и b соответственно. В этом случае, по свойству высоты, мы имеем:

• AD / DB = AC^2 / BC^2.

Подставим значения, которые мы знаем:

• AD = x
• DB = 3x

Таким образом, мы можем записать соотношение:

x / 3x = a^2 / b^2.

Сокращая, получаем:

1 / 3 = a^2 / b^2.

Теперь, чтобы найти соотношение высоты CH, мы можем использовать формулу для высоты в прямоугольном треугольнике:

CH = (a * b) / c, где c - гипотенуза.

Так как мы знаем, что AD и DB делят гипотенузу в соотношении 1:3, то высота CH также будет делить эту гипотенузу в том же соотношении.

Таким образом, высота CH также будет делить гипотенузу в соотношении 1:3.

Ответ: Высота, опущенная на гипотенузу, делит её в соотношении 1:3.