В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 12 см, а один из острых углов составляет 60 градусов. Как можно вычислить объём и боковую поверхность конуса, который образуется при вращении этого треугольника вокруг меньшего катета?

Геометрия 11 класс Вращение фигур в пространстве прямоугольный треугольник гипотенуза 12 см острый угол 60 градусов объем конуса боковая поверхность конуса вращение треугольника меньший катет геометрия 11 класс Новый

Чтобы вычислить объем и боковую поверхность конуса, образующегося при вращении прямоугольного треугольника вокруг меньшего катета, сначала найдем длины катетов треугольника, используя известные данные.

Шаг 1: Найдем длины катетов

• Обозначим гипотенузу как c = 12 см.
• Острый угол α = 60 градусов.
• Используем тригонометрические функции для нахождения катетов:

Для нахождения меньшего катета (a) используем косинус:

• a = c * cos(α) = 12 * cos(60°) = 12 * 0.5 = 6 см.

Для нахождения большего катета (b) используем синус:

• b = c * sin(α) = 12 * sin(60°) = 12 * (√3/2) = 12 * 0.866 = 10.392 см.

Шаг 2: Найдем объем конуса

• Формула для объема конуса: V = (1/3) * π * r² * h, где r - радиус основания, h - высота.
• В нашем случае меньший катет (a = 6 см) будет радиусом основания, а больший катет (b = 10.392 см) будет высотой.
• Подставим значения в формулу:

V = (1/3) * π * (6)² * (10.392) = (1/3) * π * 36 * 10.392.

Теперь вычисляем:

• V ≈ (1/3) * 3.14 * 36 * 10.392 ≈ 37.68 * 10.392 ≈ 391.47 см³.

Шаг 3: Найдем боковую поверхность конуса

• Формула для боковой поверхности конуса: Sб = π * r * l, где l - образующая конуса.
• Образующую (l) можно найти с помощью теоремы Пифагора: l = √(r² + h²).

Подставим значения:

• l = √(6² + 10.392²) = √(36 + 108) = √144 = 12 см.

Теперь подставим в формулу для боковой поверхности:

• Sб = π * 6 * 12 = 72π.

Приблизительно:

• Sб ≈ 72 * 3.14 ≈ 226.08 см².

Итак, окончательные результаты:

• Объем конуса ≈ 391.47 см³.
• Боковая поверхность конуса ≈ 226.08 см².