В прямоугольном треугольнике КМР, где гипотенуза КМ является хордой окружности радиусом корень 7, а вершина Р находится на диаметре, параллельном гипотенузе. Расстояние от центра окружности до гипотенузы равно корень 3. Каковы острые углы треугольника КМР?

Геометрия 11 класс Прямоугольные треугольники и окружности прямоугольный треугольник гипотенуза окружность радиус острые углы расстояние до гипотенузы угол КМР треугольник КМР Новый

Для решения задачи о прямоугольном треугольнике КМР, начнем с того, что у нас есть окружность радиусом корень 7 и гипотенуза КМ, которая является хордой этой окружности. Вершина Р лежит на диаметре, параллельном гипотенузе, и расстояние от центра окружности до гипотенузы равно корень 3.

Обозначим:

• O - центр окружности;
• R - радиус окружности = корень 7;
• d - расстояние от центра окружности до гипотенузы КМ = корень 3.

Сначала найдем длину хордой КМ. Из теоремы о расстоянии от центра окружности до хорды известно, что:

h^2 + a^2 = R^2,

где h - расстояние от центра до хорды (это d), a - половина длины хорды, R - радиус окружности.

Подставим известные значения:

(корень 3)^2 + a^2 = (корень 7)^2.

Это дает:

3 + a^2 = 7.

Теперь выразим a^2:

a^2 = 7 - 3 = 4.

Следовательно, a = корень 4 = 2.

Таким образом, длина хорды КМ равна 2a = 2 * 2 = 4.

Теперь рассмотрим треугольник КМР. Поскольку Р находится на диаметре, а треугольник КМР прямоугольный, мы можем использовать тригонометрию для нахождения острых углов.

Обозначим углы:

• угол K = α;
• угол M = β;
• угол R = 90°.

Используя соотношение в прямоугольном треугольнике, мы можем найти углы α и β через тангенсы:

tan(α) = противолежащий катет / прилежащий катет = РМ / КР;

tan(β) = противолежащий катет / прилежащий катет = РК / МР.

Для нахождения этих катетов используем теорему Пифагора:

• КМ = 4 (гипотенуза);
• РМ = x;
• РК = y.

Таким образом, у нас есть:

x^2 + y^2 = 4^2 = 16.

Также, используя информацию о расстоянии от центра до гипотенузы, можем найти соотношения между x и y. Однако, для более простого подхода можно воспользоваться тем, что сумма углов треугольника равна 180°:

α + β = 90°.

Теперь, чтобы найти конкретные значения углов, нам нужно больше информации о длинах катетов или углах. Однако, если мы знаем, что треугольник прямоугольный и его гипотенуза равна 4, а расстояние от центра окружности до гипотенузы равно корень 3, мы можем использовать обратные тригонометрические функции.

В итоге, для нахождения острых углов α и β, можно использовать:

• α = arcsin(РМ / 4);
• β = arcsin(РК / 4).

В заключение, острые углы треугольника КМР можно найти через тригонометрические функции, используя известные длины сторон и свойства окружности. Для получения численных значений углов α и β, необходимо знать конкретные длины катетов РМ и РК, которые можно найти через дополнительные условия задачи.