В прямоугольном треугольнике прямая, которая перпендикулярна гипотенузе, отсекает четырехугольник, в который возможно вписать окружность. Каков радиус этой окружности, если длина отрезка этой прямой, находящегося внутри треугольника, составляет 14, а соотношение катетов треугольника равно 7 к 24?

Геометрия 11 класс Темы: "Геометрия треугольников" и "Вписанные и описанные окружности прямоугольный треугольник перпендикулярная гипотенуза радиус окружности длина отрезка соотношение катетов геометрия 11 класс Новый

Для решения задачи начнем с анализа прямоугольного треугольника и его свойств. У нас есть прямоугольный треугольник, в котором одна из сторон (гипотенуза) пересечена перпендикулярной линией, отсекающей четырехугольник. Этот четырехугольник может вписать окружность, что говорит нам о том, что его противоположные стороны равны по сумме.

Дано, что длина отрезка, находящегося внутри треугольника, составляет 14. Также известно, что соотношение катетов треугольника равно 7 к 24. Обозначим катеты как a и b, где a = 7k, b = 24k для некоторого положительного k.

Теперь найдем длину гипотенузы c с помощью теоремы Пифагора:

• c = √(a² + b²) = √((7k)² + (24k)²) = √(49k² + 576k²) = √(625k²) = 25k.

Теперь мы можем рассмотреть перпендикуляр, который делит гипотенузу. Длина этого перпендикуляра равна 14. Обозначим его как h. В прямоугольном треугольнике, если провести перпендикуляр к гипотенузе, то длина этого перпендикуляра может быть найдена по формуле:

h = (a * b) / c.

Подставим известные значения:

• h = (7k * 24k) / (25k) = (168k²) / (25k) = (168/25)k.

Теперь мы знаем, что h = 14, следовательно:

• (168/25)k = 14.

Решим это уравнение для k:

• k = 14 * (25/168) = 350/168 = 25/12.

Теперь подставим значение k обратно в выражения для катетов и гипотенузы:

• a = 7k = 7 * (25/12) = 175/12,
• b = 24k = 24 * (25/12) = 50.

Теперь мы можем рассчитать радиус окружности, вписанной в четырехугольник. Радиус r можно найти по формуле:

• r = (a + b - c) / 2.

Сначала найдем c:

• c = 25k = 25 * (25/12) = 625/12.

Теперь подставим значения a, b и c в формулу для радиуса:

• r = (175/12 + 50 - 625/12) / 2 = (175/12 + 600/12 - 625/12) / 2 = (150/12) / 2 = 75/12 = 6.25.

Таким образом, радиус окружности, вписанной в четырехугольник, равен 6.25.

Ответ: Радиус окружности составляет 6.25.