В равностороннем треугольнике со стороной равной единице, какое отношение площади образует окружность, центр которой находится в одной из вершин, и которая проходит через центр треугольника?

Геометрия 11 класс Площадь и окружности в треугольниках равносторонний треугольник площадь окружности отношение площадей треугольник единичной стороны центр треугольника Новый

Для решения данной задачи начнем с определения необходимых элементов равностороннего треугольника и окружности.

1. Площадь равностороннего треугольника:

• Сторона треугольника равна 1.
• Формула для площади равностороннего треугольника: S = (a^2 * √3) / 4, где a — длина стороны.
• Подставим a = 1: S = (1^2 * √3) / 4 = √3 / 4.

2. Положение центра треугольника:

• В равностороннем треугольнике центр (центроид) находится на пересечении медиан.
• Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1.
• Так как стороны равны, координаты вершин треугольника можно взять как (0, 0), (1, 0) и (0.5, √3/2).
• Центр треугольника будет находиться в точке ((0 + 1 + 0.5)/3, (0 + 0 + √3/2)/3) = (0.5, √3/6).

3. Радиус окружности:

• Окружность имеет центр в одной из вершин, например, в точке (0, 0).
• Радиус окружности равен расстоянию от этой вершины до центра треугольника.
• Расстояние можно найти по формуле: R = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).
• Подставим координаты: R = √((0.5 - 0)^2 + (√3/6 - 0)^2) = √(0.25 + (√3/6)^2) = √(0.25 + 3/36) = √(0.25 + 0.0833) = √(0.3333).
• Упрощая, получаем R = √(1/3) = 1/√3.

4. Площадь окружности:

• Площадь окружности вычисляется по формуле: S = πR^2.
• Подставим R: S = π * (1/√3)^2 = π/3.

5. Найдем отношение площадей:

• Площадь треугольника: S_треугольника = √3 / 4.
• Площадь окружности: S_окружности = π / 3.
• Отношение площадей: (S_окружности / S_треугольника) = (π / 3) / (√3 / 4) = (π * 4) / (3 * √3) = (4π) / (3√3).

Таким образом, отношение площадей окружности и равностороннего треугольника равно (4π) / (3√3).