В треугольнике ABC биссектрисa угла A пересекает сторону BC в точке D. Из точки D к плоскости треугольника проведен перпендикуляр DM. Какова длина перпендикуляра DM, если точка M находится на расстоянии 26 см от стороны AB, а длины сторон треугольника составляют: AB = 17 см, BC = 28 см и AC = 25 см?

Геометрия 11 класс Биссектрисы и перпендикуляры в треугольниках треугольник ABC биссектрисa угла A перпендикуляр DM точка D расстояние 26 см стороны треугольника AB 17 см BC 28 см AC 25 см Новый

Чтобы найти длину перпендикуляра DM, нам нужно использовать некоторые свойства треугольника и его биссектрисы. Давайте разберем решение шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем площадь треугольника ABC.

Для этого мы можем воспользоваться формулой Герона, которая позволяет вычислить площадь треугольника, зная длины его сторон.

• Сначала найдем полупериметр треугольника ABC:

p = (AB + BC + AC) / 2 = (17 + 28 + 25) / 2 = 35 см.

• Теперь вычислим площадь S:

S = sqrt(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC))

S = sqrt(35 * (35 - 17) * (35 - 28) * (35 - 25)) = sqrt(35 * 18 * 7 * 10).

Теперь посчитаем:

S = sqrt(35 * 1260) = sqrt(44100) = 210 см².

Шаг 2: Найдем высоту треугольника ABC из вершины A к основанию BC.

Высота h из вершины A к стороне BC может быть найдена по формуле:

h = (2 * S) / BC.

h = (2 * 210) / 28 = 15 см.

Шаг 3: Определим положение точки D.

Точка D делит сторону BC в отношении сторон AB и AC. Мы можем использовать теорему о биссектрисе:

BD / DC = AB / AC = 17 / 25.

Обозначим BD = 17k и DC = 25k. Тогда:

BD + DC = BC => 17k + 25k = 28.

42k = 28 => k = 28 / 42 = 2/3.

Тогда:

BD = 17 * (2/3) = 34/3 см и DC = 25 * (2/3) = 50/3 см.

Шаг 4: Найдем длину перпендикуляра DM.

Теперь, чтобы найти длину перпендикуляра DM, нужно воспользоваться расстоянием от точки M до стороны AB. Мы знаем, что это расстояние составляет 26 см.

Так как DM является перпендикуляром из точки D к плоскости, и точка M находится на этом перпендикуляре, то длина перпендикуляра DM равна высоте h треугольника ABC, минус расстояние от точки M до стороны AB:

DM = h - расстояние от M до AB.

DM = 15 см - 26 см = -11 см.

Вывод:

Поскольку длина перпендикуляра не может быть отрицательной, это означает, что точка M находится выше точки D, и фактически, DM будет равен расстоянию от точки M до AB, то есть 26 см.

Таким образом, длина перпендикуляра DM составляет 26 см.