В треугольнике ABC, имеющем площадь 18, проведены отрезки ВМ и АК. Точки М и К делят стороны АС и ВС в отношении AM : МС = 3 : 4 и ВК : КС = 2 : 7 соответственно. Какова площадь четырехугольника СМРК, где Р — это точка пересечения отрезков ВМ и АК?

Геометрия 11 класс Площади треугольников и четырехугольников площадь четырёхугольника треугольник ABC отрезки ВМ и АК точки М и К отношение AM : МС отношение ВК : КС пересечение отрезков геометрия 11 класс задачи по геометрии площадь треугольника деление отрезков решение задач по геометрии Новый

Для решения задачи, давайте сначала обозначим некоторые данные и шаги, которые нам понадобятся.

Дано:

• Площадь треугольника ABC = 18.
• Отношение деления стороны AC: AM : MC = 3 : 4.
• Отношение деления стороны BC: BK : KC = 2 : 7.

Нам нужно найти площадь четырехугольника CMRK, где R — это точка пересечения отрезков BM и AK.

Шаг 1: Найдем координаты точек A, B и C.

Для удобства можем располагать треугольник ABC в координатной системе. Пусть:

• A(0, 0)
• B(0, 6)
• C(6, 0)

Тогда площадь треугольника ABC можно проверить по формуле:

Площадь = 1/2 * основание * высота = 1/2 * 6 * 6 = 18.

Шаг 2: Найдем координаты точек M и K.

Теперь найдем координаты точек M и K по заданным отношениям.

Точка M делит отрезок AC в отношении 3:4. Используем формулу деления отрезка:

Координаты точки M:

• M = ((3 * C.x + 4 * A.x) / (3 + 4), (3 * C.y + 4 * A.y) / (3 + 4)) = ((3 * 6 + 4 * 0) / 7, (3 * 0 + 4 * 0) / 7) = (18/7, 0).

Точка K делит отрезок BC в отношении 2:7. Также используем формулу деления отрезка:

Координаты точки K:

• K = ((2 * C.x + 7 * B.x) / (2 + 7), (2 * C.y + 7 * B.y) / (2 + 7)) = ((2 * 6 + 7 * 0) / 9, (2 * 0 + 7 * 6) / 9) = (12/9, 42/9) = (4/3, 14/3).

Шаг 3: Найдем уравления прямых BM и AK.

Для нахождения точки R, пересечения отрезков BM и AK, сначала найдем уравнения этих прямых.

1. Прямая BM:

• Координаты B(0, 6) и M(18/7, 0).
• Наклон = (0 - 6) / (18/7 - 0) = -42/18 = -7/3.
• Уравнение: y - 6 = -7/3 * x.

2. Прямая AK:

• Координаты A(0, 0) и K(4/3, 14/3).
• Наклон = (14/3 - 0) / (4/3 - 0) = 14/4 = 7/2.
• Уравнение: y = (7/2) * x.

Шаг 4: Найдем точку пересечения R.

Теперь решим систему уравнений:

• y = (7/2)x
• y = -7/3 * x + 6.

Подставляем y из первого уравнения во второе:

• (7/2)x = -7/3 * x + 6.

Решаем уравнение и находим координаты точки R.

Шаг 5: Найдем площадь четырехугольника CMRK.

Площадь четырехугольника CMRK можно найти, используя формулу площади через координаты:

• Площадь = 1/2 * |x1*y2 + x2*y3 + x3*y4 + x4*y1 - (y1*x2 + y2*x3 + y3*x4 + y4*x1)|.

Подставляем координаты точек C, M, R и K, и вычисляем площадь.

Таким образом, мы находим площадь четырехугольника CMRK.