Чтобы найти площадь треугольника MNP, расположенного внутри треугольника ABC, мы воспользуемся соотношениями, которые даны в задаче, и формулой для нахождения площади треугольника через его стороны.

Даны следующие соотношения:

• AM:MB = 1:4
• BN:NC = 1:5
• AP:PC = 1:3

Сначала найдем доли, которые занимают отрезки AM, MB, BN, NC, AP и PC на сторонах треугольника ABC:

• AM = 1x, MB = 4x, тогда AB = AM + MB = 1x + 4x = 5x.
• BN = 1y, NC = 5y, тогда BC = BN + NC = 1y + 5y = 6y.
• AP = 1z, PC = 3z, тогда AC = AP + PC = 1z + 3z = 4z.

Теперь найдем площади треугольников AMN, BNP и ACP, которые являются частями треугольника ABC.

Площадь треугольника ABC равна 120 см². Площадь треугольника MNP можно найти, используя формулу:

Площадь треугольника MNP = Площадь ABC * (1 - AM/AB) * (1 - BN/BC) * (1 - AP/AC).

Теперь подставим значения:

• AM/AB = 1/5, поэтому 1 - AM/AB = 1 - 1/5 = 4/5.
• BN/BC = 1/6, поэтому 1 - BN/BC = 1 - 1/6 = 5/6.
• AP/AC = 1/4, поэтому 1 - AP/AC = 1 - 1/4 = 3/4.

Теперь подставим все найденные значения в формулу:

Площадь MNP = 120 * (4/5) * (5/6) * (3/4).

Упростим это выражение:

• 120 * (4/5) = 96.
• 96 * (5/6) = 80.
• 80 * (3/4) = 60.

Таким образом, площадь треугольника MNP равна 60 см².

Ответ: Площадь треугольника MNP равна 60 см².