В треугольнике АВС даны координаты его вершин: A(-5, 4, 2), B(2, 3, 1), C(-3, -1, -3). Какие значения нужно найти?

1. Периметр треугольника АВС
2. Косинус угла между сторонами AB и BC
3. Длину медианы BM
4. Длину средней линии HM, параллельной BC
5. Координаты точки пересечения медиан
6. Если точки A, B, C - вершины параллелограмма, найдите координаты четвёртой вершины.

Геометрия 11 класс Аналитическая геометрия в пространстве треугольник АВС координаты вершин периметр треугольника косинус угла длина медианы средняя линия координаты пересечения медиан вершина параллелограмма Новый

Для решения поставленных задач, давайте поэтапно рассмотрим каждую из них.

1. Периметр треугольника ABC

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Сначала найдем длины сторон AB, BC и CA, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

Длина отрезка AB:

• AB = √((xB - xA)² + (yB - yA)² + (zB - zA)²)

Подставим координаты A и B:

• AB = √((2 - (-5))² + (3 - 4)² + (1 - 2)²) = √(7² + (-1)² + (-1)²) = √(49 + 1 + 1) = √51.

Теперь найдем длину BC:

• BC = √((xC - xB)² + (yC - yB)² + (zC - zB)²)

Подставляем координаты B и C:

• BC = √((-3 - 2)² + (-1 - 3)² + (-3 - 1)²) = √((-5)² + (-4)² + (-4)²) = √(25 + 16 + 16) = √57.

Теперь найдем длину CA:

• CA = √((xA - xC)² + (yA - yC)² + (zA - zC)²)

Подставляем координаты A и C:

• CA = √((-5 - (-3))² + (4 - (-1))² + (2 - (-3))²) = √((-2)² + (5)² + (5)²) = √(4 + 25 + 25) = √54.

Теперь можем найти периметр:

• Периметр = AB + BC + CA = √51 + √57 + √54.

2. Косинус угла между сторонами AB и BC

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами используем формулу:

cos(θ) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|),

где AB и BC - векторы, а · - скалярное произведение.

Сначала найдем векторы AB и BC:

• AB = (2 - (-5), 3 - 4, 1 - 2) = (7, -1, -1),
• BC = (-3 - 2, -1 - 3, -3 - 1) = (-5, -4, -4).

Теперь найдем скалярное произведение:

• AB · BC = 7 * (-5) + (-1) * (-4) + (-1) * (-4) = -35 + 4 + 4 = -27.

Теперь найдем длины векторов:

• |AB| = √(7² + (-1)² + (-1)²) = √(49 + 1 + 1) = √51,
• |BC| = √((-5)² + (-4)² + (-4)²) = √(25 + 16 + 16) = √57.

Теперь подставим значения в формулу:

• cos(θ) = -27 / (√51 * √57).

3. Длина медианы BM

Сначала найдем координаты точки M, которая является серединой стороны AC:

• M = ((xA + xC)/2, (yA + yC)/2, (zA + zC)/2) = ((-5 + (-3))/2, (4 + (-1))/2, (2 + (-3))/2) = (-4, 1.5, -0.5).

Теперь найдем длину BM:

• BM = √((xM - xB)² + (yM - yB)² + (zM - zB)²) = √((-4 - 2)² + (1.5 - 3)² + (-0.5 - 1)²) = √((-6)² + (-1.5)² + (-1.5)²) = √(36 + 2.25 + 2.25) = √40.5.

4. Длина средней линии HM, параллельной BC

Средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника. Сначала найдем координаты точки H, которая является серединой стороны AB:

• H = ((xA + xB)/2, (yA + yB)/2, (zA + zB)/2) = ((-5 + 2)/2, (4 + 3)/2, (2 + 1)/2) = (-1.5, 3.5, 1.5).

Теперь найдем длину HM:

• HM = √((xM - xH)² + (yM - yH)² + (zM - zH)²) = √((-4 - (-1.5))² + (1.5 - 3.5)² + (-0.5 - 1.5)²) = √((-2.5)² + (-2)² + (-2)²) = √(6.25 + 4 + 4) = √14.25.

5. Координаты точки пересечения медиан

Координаты точки пересечения медиан (центроид) находятся по формуле:

• G = ((xA + xB + xC)/3, (yA + yB + yC)/3, (zA + zB + zC)/3) = ((-5 + 2 - 3)/3, (4 + 3 - 1)/3, (2 + 1 - 3)/3) = (-2, 2, 0).

6. Координаты четвёртой вершины параллелограмма

Если A, B, C - вершины параллелограмма, то четвёртая вершина D может быть найдена по формуле:

• D = B + C - A = (2 + (-3) - (-5), 3 + (-1) - 4, 1 + (-3) - 2) = (4, -2, -4).

Таким образом, мы нашли все необходимые значения!