2025-03-07 12:48:56
В треугольнике АВС даны координаты его вершин: A(-5, 4, 2), B(2, 3, 1), C(-3, -1, -3). Какие значения нужно найти?
- Периметр треугольника АВС
- Косинус угла между сторонами AB и BC
- Длину медианы BM
- Длину средней линии HM, параллельной BC
- Координаты точки пересечения медиан
- Если точки A, B, C - вершины параллелограмма, найдите координаты четвёртой вершины.
Геометрия 11 класс Аналитическая геометрия в пространстве треугольник АВС координаты вершин периметр треугольника косинус угла длина медианы средняя линия координаты пересечения медиан вершина параллелограмма
2025-03-07 12:49:34
Для решения поставленных задач, давайте поэтапно рассмотрим каждую из них.
1. Периметр треугольника ABCПериметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Сначала найдем длины сторон AB, BC и CA, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве:
Длина отрезка AB:
- AB = √((xB - xA)² + (yB - yA)² + (zB - zA)²)
Подставим координаты A и B:
- AB = √((2 - (-5))² + (3 - 4)² + (1 - 2)²) = √(7² + (-1)² + (-1)²) = √(49 + 1 + 1) = √51.
Теперь найдем длину BC:
- BC = √((xC - xB)² + (yC - yB)² + (zC - zB)²)
Подставляем координаты B и C:
- BC = √((-3 - 2)² + (-1 - 3)² + (-3 - 1)²) = √((-5)² + (-4)² + (-4)²) = √(25 + 16 + 16) = √57.
Теперь найдем длину CA:
- CA = √((xA - xC)² + (yA - yC)² + (zA - zC)²)
Подставляем координаты A и C:
- CA = √((-5 - (-3))² + (4 - (-1))² + (2 - (-3))²) = √((-2)² + (5)² + (5)²) = √(4 + 25 + 25) = √54.
Теперь можем найти периметр:
- Периметр = AB + BC + CA = √51 + √57 + √54.
Для нахождения косинуса угла между двумя векторами используем формулу:
cos(θ) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|),
где AB и BC - векторы, а · - скалярное произведение.
Сначала найдем векторы AB и BC:
- AB = (2 - (-5), 3 - 4, 1 - 2) = (7, -1, -1),
- BC = (-3 - 2, -1 - 3, -3 - 1) = (-5, -4, -4).
Теперь найдем скалярное произведение:
- AB · BC = 7 * (-5) + (-1) * (-4) + (-1) * (-4) = -35 + 4 + 4 = -27.
Теперь найдем длины векторов:
- |AB| = √(7² + (-1)² + (-1)²) = √(49 + 1 + 1) = √51,
- |BC| = √((-5)² + (-4)² + (-4)²) = √(25 + 16 + 16) = √57.
Теперь подставим значения в формулу:
- cos(θ) = -27 / (√51 * √57).
Сначала найдем координаты точки M, которая является серединой стороны AC:
- M = ((xA + xC)/2, (yA + yC)/2, (zA + zC)/2) = ((-5 + (-3))/2, (4 + (-1))/2, (2 + (-3))/2) = (-4, 1.5, -0.5).
Теперь найдем длину BM:
- BM = √((xM - xB)² + (yM - yB)² + (zM - zB)²) = √((-4 - 2)² + (1.5 - 3)² + (-0.5 - 1)²) = √((-6)² + (-1.5)² + (-1.5)²) = √(36 + 2.25 + 2.25) = √40.5.
Средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника. Сначала найдем координаты точки H, которая является серединой стороны AB:
- H = ((xA + xB)/2, (yA + yB)/2, (zA + zB)/2) = ((-5 + 2)/2, (4 + 3)/2, (2 + 1)/2) = (-1.5, 3.5, 1.5).
Теперь найдем длину HM:
- HM = √((xM - xH)² + (yM - yH)² + (zM - zH)²) = √((-4 - (-1.5))² + (1.5 - 3.5)² + (-0.5 - 1.5)²) = √((-2.5)² + (-2)² + (-2)²) = √(6.25 + 4 + 4) = √14.25.
Координаты точки пересечения медиан (центроид) находятся по формуле:
- G = ((xA + xB + xC)/3, (yA + yB + yC)/3, (zA + zB + zC)/3) = ((-5 + 2 - 3)/3, (4 + 3 - 1)/3, (2 + 1 - 3)/3) = (-2, 2, 0).
Если A, B, C - вершины параллелограмма, то четвёртая вершина D может быть найдена по формуле:
- D = B + C - A = (2 + (-3) - (-5), 3 + (-1) - 4, 1 + (-3) - 2) = (4, -2, -4).
Таким образом, мы нашли все необходимые значения!
