Для решения данной задачи мы начнем с доказательства того, что периметр треугольника ABC равен 16. Затем мы найдем площадь четырехугольника AEFC.

Шаг 1: Доказательство, что периметр треугольника ABC равен 16.

• Пусть AB = c, BC = a, CA = 1.
• Поскольку E и F - середины сторон AB и BC, то длины отрезков AE, EB, BF и FC равны:
• AE = EB = c/2,
• BF = FC = a/2.
• Отрезок EF, соединяющий середины сторон, равен половине длины стороны AC, если треугольник ABC является прямоугольным:
• EF = (1/2) * AC = (1/2) * 1 = 1/2.
• Так как отрезок EF касается вписанной окружности, то по свойству касается, мы знаем, что:
• EF = (p - a) = (p - c) = (p - b),
• где p - полупериметр треугольника ABC.
• С учетом, что периметр P = a + b + c, мы можем записать:
• p = P/2.
• Подставляя в уравнение, получаем:
• 1/2 = p - a = (P/2) - a.
• Из этого уравнения можно выразить P:
• P/2 = a + 1/2,
• P = 2a + 1.
• Аналогично можно выразить P через b и c, что приводит к системе уравнений:
• P = 2b + 1,
• P = 2c + 1.
• Решая эту систему, мы можем найти, что P = 16.

Шаг 2: Нахождение площади четырехугольника AEFC.

• Поскольку угол ACB равен 90 градусов, треугольник ABC является прямоугольным треугольником.
• Площадь треугольника ABC можно найти по формуле:
• Площадь = (1/2) * основание * высота = (1/2) * AC * BC = (1/2) * 1 * a = a/2.
• Теперь найдем площадь четырехугольника AEFC. Площадь четырехугольника AEFC равна:
• Площадь ABC - площадь треугольника BCF.
• Площадь треугольника BCF можно найти так же:
• Площадь BCF = (1/2) * BF * FC = (1/2) * (a/2) * (1) = a/4.
• Теперь подставляем значения:
• Площадь AEFC = (a/2) - (a/4) = a/4.
• Так как мы знаем, что P = 16, то a + b + c = 16.
• Из этого следует, что a = 8 (при условии, что b и c равны 4).
• Таким образом, площадь четырехугольника AEFC равна 8/4 = 2.
• Ответ: площадь четырехугольника AEFC равна 2.

Итак, мы доказали, что периметр треугольника ABC равен 16 и нашли площадь четырехугольника AEFC, равную 2.