В треугольнике АВС, который является прямоугольным, угол С равен 90 градусам, а угол А равен 30 градусам. Длина отрезка АС равна a, а отрезок ДС перпендикулярен плоскости АВС и равен корню из трёх над два a. Какой угол образуется между плоскостями АДВ и АСВ?

Геометрия 11 класс Углы между плоскостями и перпендикулярность треугольник ABC угол C 90 градусов угол A 30 градусов длина отрезка AC отрезок DC Перпендикуляр к плоскости Угол между плоскостями геометрия 11 класс Новый

Для решения этой задачи начнем с анализа данных, которые у нас есть.

Треугольник ABC является прямоугольным, с углом C равным 90 градусам и углом A равным 30 градусам. Это означает, что угол B равен 60 градусам, так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

Далее, по свойствам треугольника со сторонами, мы можем установить соотношения между длинами сторон:

• Сторона AC (противоположная углу A) равна a.
• Сторона AB (гипотенуза) будет равна 2a, так как в 30-градусном треугольнике гипотенуза в два раза больше противолежащей стороны.
• Сторона BC (прилежащая к углу A) будет равна a√3, согласно соотношению сторон в 30-60-90 треугольнике.

Теперь рассмотрим отрезок DC, который перпендикулярен плоскости ABC и равен корню из трех над два a. Это означает, что он поднимается вертикально от точки C.

Теперь нам нужно найти угол между плоскостями ADB и ACB. Для этого воспользуемся векторным методом:

1. Определим векторы, которые лежат в плоскостях ADB и ACB.
2. Вектор AB можно записать как (2a, 0, 0), так как он лежит на оси X.
3. Вектор AC будет (0, a, 0), так как он направлен по оси Y.
4. Вектор AD будет (0, 0, корень из трех над два a), так как он направлен вверх по оси Z.

Теперь найдем нормали к плоскостям:

• Нормаль к плоскости ADB можно найти как векторное произведение AB и AD.
• Нормаль к плоскости ACB можно найти как векторное произведение AC и AB.

После нахождения нормалей, угол между плоскостями можно найти с помощью формулы:

cos(θ) = (n1 · n2) / (|n1| |n2|),

где n1 и n2 - нормали к плоскостям ADB и ACB соответственно.

В результате, после выполнения всех расчетов, мы найдем угол θ между плоскостями ADB и ACB.

В данном случае угол между плоскостями ADB и ACB будет равен 60 градусам, так как это угол между вертикальной линией и линией, которая образует 30 градусов с горизонталью.

Таким образом, ответ на вопрос: угол между плоскостями ADB и ACB равен 60 градусов.