В треугольнике KO перпендикуляр к плоскости альфа, KM и KP являются наклонными к этой плоскости, а OM и OP — их проекциями. Известно, что сумма длин проекций равна 15 см. Какое расстояние от точки K до плоскости альфа, если KM равно 15 см, а KP составляет 10√3 см?

Геометрия 11 класс Проекции и расстояния в пространстве треугольник KO Перпендикуляр к плоскости наклонные линии проекции длина проекций расстояние до плоскости KM KP геометрия 11 класс задача по геометрии Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства проекций и треугольников.

Дано:

• Сумма длин проекций OM и OP равна 15 см.
• Длина KM = 15 см.
• Длина KP = 10√3 см.

Нам нужно найти расстояние от точки K до плоскости альфа, которое обозначим как h.

Согласно свойствам проекций, можно использовать теорему Пифагора для нахождения высоты (расстояния до плоскости) для каждого из наклонных отрезков:

1. Для KM:
   • OM = проекция KM на плоскость альфа.
   • По теореме Пифагора: KM^2 = OM^2 + h^2.
   • Таким образом, OM = √(KM^2 - h^2) = √(15^2 - h^2).
2. Для KP:
   • OP = проекция KP на плоскость альфа.
   • По теореме Пифагора: KP^2 = OP^2 + h^2.
   • Таким образом, OP = √(KP^2 - h^2) = √((10√3)^2 - h^2) = √(300 - h^2).

Теперь у нас есть два выражения для OM и OP:

• OM = √(225 - h^2),
• OP = √(300 - h^2).

Согласно условию задачи, OM + OP = 15 см. Подставим наши выражения:

√(225 - h^2) + √(300 - h^2) = 15.

Теперь мы можем решить это уравнение. Для этого сначала выразим одну из корней:

√(300 - h^2) = 15 - √(225 - h^2).

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

300 - h^2 = (15 - √(225 - h^2))^2.

Раскроем скобки:

300 - h^2 = 225 - 30√(225 - h^2) + (225 - h^2).

Упростим:

300 - h^2 = 450 - h^2 - 30√(225 - h^2).

Переносим все на одну сторону:

30√(225 - h^2) = 450 - 300.

30√(225 - h^2) = 150.

Теперь делим обе стороны на 30:

√(225 - h^2) = 5.

Возводим обе стороны в квадрат:

225 - h^2 = 25.

Теперь выразим h^2:

h^2 = 225 - 25 = 200.

Следовательно, h = √200 = 10√2 см.

Итак, расстояние от точки K до плоскости альфа составляет:

10√2 см.