В треугольнике MKN и PDF угол K равен углу P, сторона N равна стороне D, а сторона M равна стороне F. Даны длины сторон: MK = 12, KN = 15, PF = 4, FD = 2. Как можно определить длины сторон MN, KN, а также периметры Pmnk и Ppdf, и площади Smnk и Spdf?

Геометрия 11 класс Признаки подобия треугольников треугольник угол стороны длины периметр площадь геометрия MKN PDF MN KN MK PF fd равнобедренный свойства формулы решение задач сравнение треугольников Новый

Для решения задачи мы будем использовать данные о равенстве углов и равенстве сторон в треугольниках. У нас есть два треугольника: MKN и PDF, и известно, что угол K равен углу P, сторона N равна стороне D, а сторона M равна стороне F. Это позволяет нам использовать свойства подобных треугольников.

Давайте начнем с анализа данных:

• MK = 12
• KN = 15
• PF = 4
• FD = 2

Сначала найдем длину стороны MN. Мы знаем, что стороны M и F равны, а также что угол K равен углу P. Это означает, что треугольники MKN и PDF подобны. Мы можем записать пропорцию между сторонами:

MN / PF = MK / FD

Подставим известные значения:

MN / 4 = 12 / 2

Теперь упростим правую часть:

12 / 2 = 6

Теперь мы можем выразить MN:

MN = PF * (MK / FD) = 4 * 6 = 24

Таким образом, длина стороны MN равна 24.

Теперь найдем периметры треугольников Pmnk и Ppdf.

Периметр треугольника MKN:

Pmnk = MK + KN + MN = 12 + 15 + 24 = 51

Периметр треугольника PDF:

Ppdf = PF + FD + MD

Сторона MD равна стороне MN, так как треугольники подобны:

MD = MN = 24

Теперь подставим значения:

Ppdf = 4 + 2 + 24 = 30

Теперь найдем площади треугольников MKN и PDF. Для нахождения площади треугольника мы можем использовать формулу Герона:

Для начала найдем полупериметры:

s_mnk = Pmnk / 2 = 51 / 2 = 25.5

Теперь найдем площадь S_mnk:

S_mnk = sqrt(s_mnk * (s_mnk - MK) * (s_mnk - KN) * (s_mnk - MN))

Подставим значения:

S_mnk = sqrt(25.5 * (25.5 - 12) * (25.5 - 15) * (25.5 - 24))

S_mnk = sqrt(25.5 * 13.5 * 10.5 * 1.5)

Теперь вычислим значение:

S_mnk ≈ sqrt(25.5 * 13.5 * 10.5 * 1.5) ≈ sqrt(25.5 * 13.5 * 15.75) ≈ sqrt(25.5 * 212.25) ≈ sqrt(5423.6875) ≈ 73.7

Теперь найдем площадь S_pdf. Поскольку треугольники подобны, площадь S_pdf будет пропорциональна квадрату отношения сходственных сторон:

S_pdf / S_mnk = (PF / MK)^2

Подставим известные значения:

S_pdf / S_mnk = (4 / 12)^2 = (1 / 3)^2 = 1 / 9

Теперь найдем S_pdf:

S_pdf = S_mnk / 9 ≈ 73.7 / 9 ≈ 8.2

Таким образом, мы нашли:

• MN = 24
• Pmnk = 51
• Ppdf = 30
• S_mnk ≈ 73.7
• S_pdf ≈ 8.2