В треугольнике PQR медианы PE и QF пересекаются в точке S. Какова длина отрезка PQ, если известна длина отрезка SR, равная 2, и вокруг четырехугольника SERF можно описать окружность?

Геометрия 11 класс Медианы треугольника и описанные окружности геометрия треугольник PQR медианы точка S длина отрезка PQ длина отрезка SR четырехугольник SERF описанная окружность Новый

Для решения данной задачи начнем с анализа информации о медианах и свойствах четырехугольника SERF.

Шаг 1: Понимание медиан и их пересечения

• Медианы треугольника пересекаются в точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
• В нашем случае, медианы PE и QF пересекаются в точке S, и SR = 2.

Шаг 2: Использование свойства описанной окружности

• Четырехугольник SERF имеет описанную окружность, что означает, что его противолежащие углы суммируются до 180 градусов.
• Это свойство также свидетельствует о том, что точки S, E, R и F лежат на одной окружности.

Шаг 3: Связь между сторонами и медианами

• Поскольку S делит медиану в отношении 2:1, мы можем обозначить длину отрезка SR как 2, а длину отрезка SP как 4 (так как SP = 2 * SR).
• Таким образом, длина медианы PE равна 6 (SR + SP = 2 + 4).
• Также, медиана QF будет иметь аналогичные свойства.

Шаг 4: Применение теоремы о медианах

• Согласно теореме о медианах, длина медианы m, проведенной к стороне a, может быть найдена по формуле: m = (1/2) * sqrt(2b² + 2c² - a²), где b и c - стороны треугольника, а a - сторона, к которой проведена медиана.
• В нашем случае, мы знаем длину медианы PE = 6 и можем выразить PQ через стороны треугольника.

Шаг 5: Вычисление длины PQ

• Рассмотрим, что длина PQ будет равна 6, так как медиана делит треугольник на две равные части и в данном случае длина стороны PQ соответствует длине медианы.

Ответ: Длина отрезка PQ равна 6.