В треугольной пирамиде ABCD углы DAB, DAC, ACB являются прямыми. Даны длины AC=CB=5 и DB=5√5. Как можно вычислить двугранный угол ABCD? Помогите, пожалуйста, даю 35 баллов!!!

Геометрия 11 класс Двугранные углы и треугольные пирамиды Двугранный угол треугольная пирамида геометрия 11 класс углы DAB DAC ACB длины AC CB DB вычисление угла ABCD задача по геометрии помощь с геометрией Новый

Для решения задачи о вычислении двугранного угла ABCD в треугольной пирамиде, начнем с анализа данных и построения необходимых элементов.

Шаг 1: Определим координаты точек.

• Пусть точка A находится в начале координат: A(0, 0, 0).
• Поскольку угол DAB является прямым, точка D может находиться на оси Z: D(0, 0, h), где h - высота, которую мы определим позже.
• Точка B находится на оси X: B(b, 0, 0), где b - длина отрезка AB.
• Точка C будет находиться на оси Y: C(0, c, 0), где c - длина отрезка AC.

Шаг 2: Используем данные о длинах отрезков.

• Из условия задачи известно, что AC = 5 и CB = 5.
• Следовательно, c = 5 и b = 5.
• Теперь мы можем записать координаты точек: A(0, 0, 0), B(5, 0, 0), C(0, 5, 0).

Шаг 3: Найдем координаты точки D.

• Длина DB = 5√5, и мы можем использовать координаты B для нахождения координат D.
• Расстояние DB можно записать как: √((0 - 5)² + (0 - 0)² + (h - 0)²) = 5√5.
• Упрощая, получаем: √(25 + h²) = 5√5.
• Квадрат обеих сторон: 25 + h² = 125.
• Следовательно, h² = 100, и h = 10. Таким образом, D(0, 0, 10).

Шаг 4: Находим векторы AB, AC и AD.

• Вектор AB = B - A = (5, 0, 0).
• Вектор AC = C - A = (0, 5, 0).
• Вектор AD = D - A = (0, 0, 10).

Шаг 5: Находим нормали плоскостей ABC и ABD.

• Для плоскости ABC нормаль N1 можно найти как векторное произведение AB и AC:
• N1 = AB × AC = |i j k|
  |5 0 0|
  |0 5 0| = (0, 0, 25).
• Для плоскости ABD нормаль N2 можно найти как векторное произведение AB и AD:
• N2 = AB × AD = |i j k|
  |5 0 0|
  |0 0 10| = (0, -50, 0).

Шаг 6: Находим угол между плоскостями ABC и ABD.

• Угол между плоскостями можно найти через скалярное произведение нормалей:
• cos(θ) = (N1 • N2) / (|N1| * |N2|).
• Скалярное произведение N1 • N2 = (0, 0, 25) • (0, -50, 0) = 0.
• Длину нормали |N1| = √(0² + 0² + 25²) = 25.
• Длину нормали |N2| = √(0² + (-50)² + 0²) = 50.
• Таким образом, cos(θ) = 0 / (25 * 50) = 0.

Шаг 7: Находим угол.

• Если cos(θ) = 0, то θ = 90 градусов.

Таким образом, двугранный угол ABCD равен 90 градусов.