2025-08-25 03:06:05
В угол А, градусная мера которого равна 60°, вписана окружность, которая касается сторон данного угла в точках В и С. Луч, находящийся внутри угла ВАС, пересекает окружность в точках Р и Q, где AP = 3, а PQ = 9. Каков периметр треугольника АВС?
Геометрия 11 класс Вписанная окружность и свойства углов периметр треугольника ABC угол A 60 градусов окружность вписанная точки касания B C длина отрезков AP PQ задача по геометрии 11 класс
2025-08-26 05:31:27
Для решения задачи нам нужно использовать свойства углов и вписанных окружностей. Давайте поэтапно разберем, как найти периметр треугольника ABC.
Шаг 1: Определим длины отрезковУ нас есть угол A, равный 60°. Вписанная окружность касается сторон угла в точках B и C. Луч AP пересекает окружность в точках P и Q, где AP = 3 и PQ = 9.
Шаг 2: Найдем длину отрезка AQДлина отрезка AQ будет равна сумме отрезков AP и PQ:
- AQ = AP + PQ = 3 + 9 = 12.
В треугольнике ABC, где угол A равен 60°, существует свойство, согласно которому:
- AB + AC = AP + AQ.
Таким образом:
- AB + AC = 3 + 12 = 15.
Периметр треугольника ABC равен сумме всех его сторон:
- P = AB + AC + BC.
Однако, мы пока не знаем длину отрезка BC. Но мы можем использовать тот факт, что в треугольнике ABC, угол A равен 60°.
Шаг 5: Используем свойства треугольникаЗная, что угол A равен 60°, мы можем предположить, что треугольник ABC является равнобедренным, если AB = AC. В этом случае:
- AB = AC = x.
Тогда:
- 2x = 15, откуда x = 7.5.
Таким образом, AB = AC = 7.5.
Шаг 6: Находим длину BCТеперь мы можем найти BC, используя свойство, что сумма длин двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. Однако, для упрощения, давайте предположим, что BC также равен 7.5 (если треугольник равнобедренный).
Шаг 7: Подсчет периметраТеперь мы можем вычислить периметр:
- P = AB + AC + BC = 7.5 + 7.5 + 7.5 = 22.5.
Таким образом, периметр треугольника ABC равен 22.5.