В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников ABD, ACD, BCD равны.

1) Как можно доказать, что данный четырёхугольник является параллелограммом?

2) Как можно найти площадь параллелограмма ABCD, если его стороны равны 8 см и 12 см, а сумма двух его высот, проведенных из одной вершины, равна 15 см?

Геометрия 11 класс Параллелограммы выпуклый четырёхугольник диагонали площади треугольников параллелограмм доказательство параллелограмма площадь параллелограмма стороны параллелограмма высоты параллелограмма геометрия 11 класс Новый

Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

1) Доказательство, что четырехугольник ABCD является параллелограммом:

Для начала вспомним, что в любом четырехугольнике, если площади треугольников, образованных его диагоналями, равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. В нашем случае у нас есть треугольники ABD, ACD и BCD, площади которых равны.

Обозначим площадь треугольника ABD как S, тогда:

• Площадь треугольника ACD также равна S.
• Площадь треугольника BCD равна S.

Теперь заметим, что сумма площадей треугольников ABD и ACD равна площади всего четырехугольника ABCD:

S(ABCD) = S(ABD) + S(ACD) = S + S = 2S.

Аналогично, площадь ABCD можно выразить через треугольники BCD и ACD:

S(ABCD) = S(BCD) + S(ACD) = S + S = 2S.

Таким образом, мы видим, что площадь ABCD можно выразить как 2S несколькими способами, что подтверждает равенство площадей и указывает на то, что противолежащие стороны четырехугольника равны и параллельны, что и является определением параллелограмма.

2) Нахождение площади параллелограмма ABCD:

Для нахождения площади параллелограмма можно воспользоваться формулой:

Площадь = основание * высота.

В нашем случае стороны параллелограмма равны 8 см и 12 см. Поскольку у нас есть две высоты, проведенные из одной вершины, давайте обозначим их как h1 и h2. Сумма этих высот равна 15 см:

h1 + h2 = 15 см.

Площадь параллелограмма можно выразить как:

• Площадь = основание1 * высота1 + основание2 * высота2.

Мы можем взять одну из сторон в качестве основания. Предположим, что 12 см - это основание. Тогда:

Площадь = 12 * h1.

Также, если взять 8 см в качестве основания, то:

Площадь = 8 * h2.

Чтобы найти площадь, мы можем выразить одну высоту через другую, например:

h2 = 15 - h1.

Подставим это в формулу для площади:

Площадь = 12 * h1 = 8 * (15 - h1).

Теперь решим это уравнение:

1. 12h1 = 120 - 8h1.
2. 12h1 + 8h1 = 120.
3. 20h1 = 120.
4. h1 = 120 / 20 = 6 см.

Теперь найдем h2:

h2 = 15 - h1 = 15 - 6 = 9 см.

Теперь можем найти площадь параллелограмма:

Площадь = 12 * 6 = 72 см² или 8 * 9 = 72 см².

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна 72 см².