2025-09-11 15:27:23
Вопрос №8. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC проведены высота BH и диагональ AC, которые пересекаются в точке P. Как найти отношение длин отрезков ВР и РН, если известно, что BC = 12, а AD = 20?
Геометрия 11 класс Отношение отрезков в трапеции равнобедренная трапеция отношение отрезков высота BH диагональ AC точки пересечения длины отрезков геометрия 11 класс задача по геометрии решение задачи свойства трапеции
2025-09-11 15:27:35
Чтобы найти отношение длин отрезков ВР и РН в равнобедренной трапеции ABCD, следуем следующим шагам:
1. Понимание трапеции:- Равнобедренная трапеция имеет два параллельных основания: AD и BC.
- AD является большим основанием, а BC - меньшим.
- Высота BH опущена из вершины B на основание AD.
- Диагональ AC пересекает высоту BH в точке P.
- Длина основания BC = 12.
- Длина основания AD = 20.
- Поскольку трапеция равнобедренная, высота BH делит отрезок AD на два равных отрезка.
- Обозначим длину отрезка AH = x.
- Тогда длина отрезка DH также будет равна x.
- Сумма оснований равна: AH + BC + DH = AD.
- Таким образом, у нас есть уравнение: x + 12 + x = 20.
- Решая это уравнение, получаем: 2x + 12 = 20.
- Сокращаем: 2x = 8, отсюда x = 4.
- Теперь мы знаем, что AH = DH = 4.
- Следовательно, AB = AC и CD = BC, так как трапеция равнобедренная.
- Теперь мы можем найти длины отрезков AB и CD, используя теорему Пифагора.
- Поскольку BH - это высота, а AH = 4, то:
- AB = sqrt(BH^2 + AH^2) = sqrt(BH^2 + 4^2).
- Однако для нахождения отношения отрезков ВР и РН нам не нужно знать длину AB.
- Согласно свойству треугольников, в которых высота делит основание на два отрезка, отношение отрезков ВР и РН будет равно отношению оснований BC и AD.
- Таким образом, мы можем записать: ВР / РН = BC / AD.
- Подставляем известные значения: ВР / РН = 12 / 20.
- Упрощаем это отношение: 12 / 20 = 3 / 5.
Итак, отношение длин отрезков ВР и РН равно 3:5.