Вопрос: Дана правильная четырехугольная пирамида PABCD с вершиной Р и стороной основания, равной 15 корень из 2. Какое расстояние от середины ребра РА до плоскости BPD?

Геометрия 11 класс Правильные пирамиды и их свойства правильная четырехугольная пирамида вершина Р сторона основания 15 корень из 2 расстояние середина ребра плоскость BPD геометрия 11 класс задача по геометрии пространственные фигуры свойства пирамид расстояние до плоскости Новый

Ответ: 7,5.

Давайте подробно разберем, как мы получаем это значение, шаг за шагом.

1. **Определим основные элементы пирамиды:**

• Пирамида PABCD правильная, это значит, что основание ABCD является квадратом.
• Сторона основания равна 15√2, значит, все стороны квадрата ABCD равны 15√2.
• Вершина пирамиды P находится над центром основания ABCD.

2. **Найдем координаты вершин основания:**

• Обозначим координаты вершин квадрата ABCD в 3D-пространстве. Пусть:
• A (0, 0, 0)
• B (15√2, 0, 0)
• C (15√2, 15√2, 0)
• D (0, 15√2, 0)
• Центр квадрата O будет находиться в точке (7,5√2, 7,5√2, 0).

3. **Рассмотрим положение вершины P:**

• Пусть высота пирамиды от точки P до плоскости ABCD равна h. Мы не знаем h, но она нам не нужна для нахождения расстояния от середины ребра RA до плоскости BPD.
• Координаты P будут (7,5√2, 7,5√2, h).

4. **Найдем середину ребра PA:**

• Середина ребра PA – это точка M, координаты которой можно найти как среднее арифметическое координат P и A:
• M = ((0 + 7,5√2)/2, (0 + 7,5√2)/2, (0 + h)/2) = (7,5√2/2, 7,5√2/2, h/2).

5. **Определим уравнение плоскости BPD:**

• Для нахождения уравнения плоскости BPD нам нужно векторное произведение векторов BP и DP. Определим координаты векторов:
• BP = P - B = (7,5√2 - 15√2, 7,5√2 - 0, h - 0) = (-7,5√2, 7,5√2, h)
• DP = P - D = (7,5√2 - 0, 7,5√2 - 15√2, h - 0) = (7,5√2, -7,5√2, h)
• Теперь найдем векторное произведение BP и DP. Это даст нам нормальный вектор плоскости.

6. **Вычисляем расстояние от точки M до плоскости BPD:**

• Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле:
• d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2),
• где A, B, C – координаты нормального вектора плоскости, а (x, y, z) – координаты точки M.
• После подстановки получаем, что расстояние равно 7,5.

Таким образом, мы получили ответ 7,5, что и является расстоянием от середины ребра PA до плоскости BPD.