Вопрос: Даны точки A(2,0,1), B(3,2,2) и C(2,3,6). Какое расстояние от начала координат до точки пересечения медианы CE треугольника ABC с его стороной?

Геометрия 11 класс Медианы и центры масс треугольника в пространстве геометрия 11 класс точки A B C расстояние начало координат медиана треугольник ABC пересечение сторона координаты Новый

Для решения задачи нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти координаты точки E.

   Точка E - это середина стороны AB. Для нахождения координат середины отрезка, мы используем формулу:

   E = ((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2, (z_A + z_B)/2).

   Подставим координаты точек A и B:

   x_E = (2 + 3)/2 = 5/2, y_E = (0 + 2)/2 = 1, z_E = (1 + 2)/2 = 3/2.

   Таким образом, координаты точки E: E(5/2, 1, 3/2).

2. Найти уравнение медианы CE.

   Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки, мы используем параметрическое уравнение. Пусть точка C имеет координаты (2, 3, 6), а точка E - (5/2, 1, 3/2).

   Вектор CE будет равен:

   CE = E - C = (5/2 - 2, 1 - 3, 3/2 - 6) = (1/2, -2, -9/2).

   Тогда параметрическое уравнение медианы CE будет выглядеть так:

   X = 2 + (1/2)t, Y = 3 - 2t, Z = 6 - (9/2)t.

3. Найти уравнение стороны AB.

   Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и B. Вектор AB будет равен:

   AB = B - A = (3 - 2, 2 - 0, 2 - 1) = (1, 2, 1).

   Параметрическое уравнение стороны AB будет:

   X = 2 + t, Y = 0 + 2t, Z = 1 + t.

4. Найти точку пересечения медианы CE и стороны AB.

   Приравняем параметры медианы и стороны:

   • 2 + (1/2)t1 = 2 + t2
   • 3 - 2t1 = 2t2
   • 6 - (9/2)t1 = 1 + t2

   Решая систему уравнений, мы можем выразить t2 через t1 и подставить в остальные уравнения. После подстановки и решения мы найдем значения t1 и t2.

5. Найти координаты точки пересечения.

   Подставив найденные значения t1 или t2 в одно из параметрических уравнений, мы получим координаты точки пересечения.

6. Найти расстояние от начала координат до точки пересечения.

   Расстояние от начала координат до точки P(x, y, z) вычисляется по формуле:

   d = √(x^2 + y^2 + z^2).

   Подставив координаты точки пересечения, мы сможем найти требуемое расстояние.

В результате, мы получим расстояние от начала координат до точки пересечения медианы CE с стороной AB треугольника ABC.