Чтобы найти синус угла между диагональю правильной четырехугольной призмы и плоскостью боковой грани, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Согласно условию, соотношение измерений параллелепипеда составляет 1:1:2. Это означает, что если мы обозначим сторону основания (квадрата) как "a", то высота призмы будет равна "2a".

Диагональ квадрата можно найти по формуле:

• Диагональ = a√2

Так как у нас правильная четырехугольная призма, диагональ основания равна a√2. Поскольку у нас есть высота, мы можем представить диагональ всей призмы (которая соединяет противоположные углы основания и верхней грани) как диагональ прямоугольного параллелепипеда.

Длина диагонали призмы D может быть найдена по формуле:

• D = √(a² + a² + (2a)²) = √(2a² + 4a²) = √(6a²) = a√6

Согласно условию задачи, длина диагонали равна √6 см. Таким образом, мы можем записать:

• a√6 = √6

Отсюда следует, что a = 1 см.

Теперь мы можем определить координаты точек, которые нам понадобятся для нахождения угла. Рассмотрим следующие точки:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A'(0, 0, 2)
• B'(1, 0, 2)
• C'(1, 1, 2)
• D'(0, 1, 2)

Диагональ призмы будет соединять точки A и C'.

Теперь найдем вектор диагонали AC'. Он равен:

• AC' = C' - A = (1, 1, 2) - (0, 0, 0) = (1, 1, 2)

Плоскость боковой грани, например, ABCD, имеет нормальный вектор, который можно найти, используя два вектора, лежащих в плоскости. Например, векторы AB и AD:

• AB = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)
• AD = (0, 1, 0) - (0, 0, 0) = (0, 1, 0)

Нормальный вектор N к этой плоскости будет равен векторному произведению AB и AD:

• N = AB x AD = (1, 0, 0) x (0, 1, 0) = (0, 0, 1)

Синус угла между диагональю и плоскостью можно найти, используя формулу:

• sin(θ) = |AC' . N| / (|AC'| * |N|)

Где "AC'" - вектор диагонали, а "N" - нормальный вектор. Сначала найдем длины векторов:

• |AC'| = √(1² + 1² + 2²) = √6
• |N| = √(0² + 0² + 1²) = 1

Теперь найдем скалярное произведение:

• AC' . N = (1, 1, 2) . (0, 0, 1) = 2

Теперь подставим в формулу:

• sin(θ) = |2| / (√6 * 1) = 2 / √6 = √6 / 3

Синус угла между диагональю призмы и плоскостью боковой грани равен √6 / 3.