Вопрос: Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб с углом в 60 градусов. Какой острый угол образуется между большей диагональю нижнего основания и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани, если высота призмы в два раза больше стороны ее основания?

Геометрия 11 класс Прямые четырехугольные призмы и их свойства прямая четырёхугольная призма ромб угол 60 градусов диагонали ромба боковая грань острый угол высота призмы сторона основания Новый

Для решения задачи начнем с анализа геометрических свойств заданной призмы. У нас есть прямоугольная четырехугольная призма, основание которой — ромб с углом в 60 градусов. Также известно, что высота призмы в два раза больше стороны основания.

1. Определим стороны ромба: Пусть сторона ромба равна a. Тогда высота призмы h = 2a.

2. Найдем диагонали ромба: В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных треугольника. Длина большей диагонали D1 и меньшей диагонали D2 можно найти по формулам:

• D1 = a * √3 (для угла 60 градусов)
• D2 = a (поскольку D2 = 2 * (a/2))

3. Найдем координаты точек: Для удобства, поместим ромб в координатную плоскость. Пусть его вершины будут в точках A(0, 0), B(a, 0), C(a/2, a√3/2), D(-a/2, a√3/2).

4. Найдем координаты диагоналей: - Большая диагональ AC: соединяет точки A(0, 0) и C(a/2, a√3/2). - Диагональ боковой грани, например, AD: соединяет A(0, 0) и D(-a/2, a√3/2).

5. Вычислим углы: Для нахождения угла между диагоналями используем скалярное произведение векторов. Вектор AC = (a/2 - 0, a√3/2 - 0) = (a/2, a√3/2), а вектор AD = (-a/2 - 0, a√3/2 - 0) = (-a/2, a√3/2).

6. Скалярное произведение векторов: - AC • AD = (a/2)(-a/2) + (a√3/2)(a√3/2) = -a²/4 + 3a²/4 = 2a²/4 = a²/2.

7. Найдем длины векторов: - ||AC|| = √((a/2)² + (a√3/2)²) = √(a²/4 + 3a²/4) = √(a²) = a. - ||AD|| = √((-a/2)² + (a√3/2)²) = √(a²/4 + 3a²/4) = √(a²) = a.

8. Используем формулу угла между векторами: - cos(θ) = (AC • AD) / (||AC|| * ||AD||) = (a²/2) / (a * a) = 1/2.

9. Находим угол: Угол θ = arccos(1/2) = 60 градусов.

Таким образом, острый угол, образуемый между большей диагональю нижнего основания и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани, равен 60 градусов.