Вопрос по геометрии: Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4 см. Через диагональ основания BD под углом 45° к плоскости основания проведена плоскость BDK, которая пересекает боковое ребро в точке K. Какова площадь треугольника BDK?

Геометрия 11 класс Плоскости и их пересечения геометрия 11 класс куб Ребро куба диагональ основания плоскость угол 45 градусов боковое ребро точка K площадь треугольника BDK задачи по геометрии треугольник геометрические фигуры Новый

Чтобы найти площадь треугольника BDK, давайте сначала определим необходимые координаты точек куба ABCDA1B1C1D1 и точки K.

1. Определим координаты вершин куба:

• A(0, 0, 0)
• B(4, 0, 0)
• C(4, 4, 0)
• D(0, 4, 0)
• A1(0, 0, 4)
• B1(4, 0, 4)
• C1(4, 4, 4)
• D1(0, 4, 4)

2. Найдем координаты точки D и B:

• D(0, 4, 0)
• B(4, 0, 0)

3. Найдем координаты точки K:

Плоскость BDK проходит через диагональ BD. Чтобы найти координаты точки K, нужно определить, как плоскость пересекает боковое ребро (например, ребро B1B). Ребро B1B имеет координаты:

• B1(4, 0, 4)
• B(4, 0, 0)

Точка K будет находиться на линии, соединяющей B1 и B. Параметризуем эту линию:

• K(4, 0, z), где z изменяется от 0 до 4.

Так как плоскость BDK под углом 45° к плоскости основания, можем использовать угол наклона, чтобы найти координату z. Угол 45° означает, что изменение по оси z будет равно изменению по оси x или y. Так как x = 4 и y = 0, мы можем использовать соотношение:

• z = 4 - (4 - 0) = 4 - 4 = 0.

Таким образом, K(4, 0, 2).

4. Теперь найдем векторы BK и BD:

• BK = K - B = (4, 0, 2) - (4, 0, 0) = (0, 0, 2)
• BD = D - B = (0, 4, 0) - (4, 0, 0) = (-4, 4, 0)

5. Теперь найдем площадь треугольника BDK:

Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 1/2 * |BK x BD|, где x - векторное произведение.

Вычислим векторное произведение BK и BD:

• BK x BD = |i j k|
• |0 0 2|
• |-4 4 0|

Вычисляем определитель:

• i(0*0 - 2*4) - j(0*0 - 2*(-4)) + k(0*4 - 0*(-4))
• = -8i + 8j + 0k

Таким образом, |BK x BD| = sqrt((-8)^2 + (8)^2) = sqrt(64 + 64) = sqrt(128) = 8sqrt(2).

Теперь подставим в формулу площади:

• Площадь = 1/2 * 8sqrt(2) = 4sqrt(2).

6. Ответ: Площадь треугольника BDK равна 4sqrt(2) см².