Вопрос: В трапеции ABCD (где AD || BC) даны биссектрисы AE и DE, точка E находится на стороне BC. Если AD равно 15, а BC равно 8, каков периметр этой трапеции? Какое свойство имеет биссектрисы угла трапеции?

Геометрия 11 класс Биссектрисы в трапеции трапеция ABCD биссектрисы AE DE периметр трапеции свойства биссектрис AD BC геометрия 11 класс Новый

Для нахождения периметра трапеции ABCD, где AD || BC, нам нужно найти длины сторон AB и CD. Мы знаем, что AD = 15 и BC = 8.

Шаг 1: Использование свойств биссектрисы.

Согласно свойству биссектрисы в трапеции, если провести биссектрисы углов, образованных боковыми сторонами и основаниями, то длины отрезков, на которые они делят основания, пропорциональны длинам этих оснований. То есть:

• AE / EB = AD / BC
• DE / EC = AD / BC

Подставим известные значения:

• AD = 15
• BC = 8

Шаг 2: Найдем отношение.

Теперь вычислим отношение:

• AE / EB = 15 / 8
• DE / EC = 15 / 8

Это означает, что если мы обозначим AE как 15k, а EB как 8k, то:

• AE + EB = BC = 8
• 15k + 8k = 8
• 23k = 8
• k = 8/23

Теперь можем выразить AE и EB:

• AE = 15 * (8/23) = 120/23
• EB = 8 * (8/23) = 64/23

Аналогично, для DE и EC:

• DE = 15 * (8/23) = 120/23
• EC = 8 * (8/23) = 64/23

Шаг 3: Найдем AB и CD.

Теперь, используя эти значения, мы можем выразить AB и CD. Для этого воспользуемся тем, что в трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин отрезков, на которые делит биссектрисы:

• AB = AE + EB = 120/23 + 64/23 = 184/23
• CD = DE + EC = 120/23 + 64/23 = 184/23

Шаг 4: Найдем периметр.

Теперь мы можем найти периметр P трапеции ABCD:

• P = AB + BC + CD + AD
• P = (184/23) + 8 + (184/23) + 15

Приведем к общему знаменателю:

• P = (184/23) + (184/23) + (184/23) + (184/23) + (184/23) = 184/23 + 8 + 15
• P = (184/23) + (184/23) + (184/23) + (184/23) + (184/23) = 184/23 + 184/23 = 368/23 + 8 + 15

Теперь преобразуем 8 и 15 к общему знаменателю 23:

• 8 = 184/23
• 15 = 345/23

Таким образом:

• P = 368/23 + 184/23 + 345/23 = 897/23

Ответ: Периметр трапеции ABCD равен 897/23.

Свойство биссектрис углов трапеции:

Биссектрисы углов трапеции делят противоположные стороны пропорционально длинам оснований. Это свойство позволяет находить соотношения между сторонами трапеции и упрощает решение задач, связанных с нахождением длин сторон.