Вопрос: В треугольнике ABC, который является прямоугольным равнобедренным с прямым углом C и гипотенузой равной 6 см, отрезок AM перпендикулярен плоскости треугольника ABC, а угол MCA равен 60 градусам. Какова длина отрезка MB?

Геометрия 11 класс Прямоугольные треугольники и свойства углов геометрия 11 класс треугольник ABC прямоугольный равнобедренный прямой угол C гипотенуза 6 см отрезок AM перпендикулярен угол MCA 60 градусов длина отрезка MB Новый

Для решения данной задачи начнем с анализа треугольника ABC. Поскольку треугольник является прямоугольным равнобедренным с прямым углом C, это означает, что углы A и B равны по 45 градусам, а стороны AC и BC равны между собой.

Гипотенуза AB треугольника равна 6 см. В равнобедренном прямоугольном треугольнике длина катетов (AC и BC) может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:

• AB^2 = AC^2 + BC^2
• 6^2 = AC^2 + AC^2
• 36 = 2 * AC^2
• AC^2 = 18
• AC = sqrt(18) = 3√2 см.

Таким образом, длина каждого из катетов AC и BC равна 3√2 см.

Теперь перейдем к отрезку AM, который перпендикулярен плоскости треугольника ABC. Угол MCA равен 60 градусам. Чтобы найти длину отрезка MB, воспользуемся тригонометрическими соотношениями.

Согласно определению косинуса угла:

• cos(MCA) = MB / AM

При этом, поскольку AM перпендикулярен плоскости, его длина можно обозначить через h. Угол MCA равен 60 градусам, и мы знаем, что cos(60) = 0.5.

Таким образом, можем записать:

• 0.5 = MB / h
• MB = 0.5 * h

Теперь нам нужно найти h. Так как AM перпендикулярен плоскости треугольника ABC, мы можем использовать треугольник AMC, где угол ACB равен 45 градусам. Мы можем выразить h через сторону AC:

• h = AC * tan(60)
• h = 3√2 * √3 = 3√6 см.

Теперь подставим значение h в уравнение для MB:

• MB = 0.5 * 3√6 = 1.5√6 см.

Таким образом, длина отрезка MB равна 1.5√6 см.