ВОПРОСЫ

1. Какое определение можно дать углу между векторами?
2. Что подразумевается под скалярным произведением двух векторов?
3. Каково значение скалярного квадрата вектора?
4. Какие свойства имеет скалярное произведение двух векторов?
5. Как сформулировать условие перпендикулярности двух векторов?
6. При каких условиях скалярное произведение двух векторов может быть: а) отрицательным числом; б) положительным числом?

Геометрия 11 класс Векторы и скалярное произведение угол между векторами скалярное произведение векторов скалярный квадрат вектора свойства скалярного произведения условие перпендикулярности векторов условия скалярного произведения Новый

1. Определение угла между векторами

Угол между двумя векторами определяется как угол, образованный их направлениями. Этот угол можно найти с помощью косинуса угла, который равен отношению скалярного произведения векторов к произведению их длин. Формально, если векторы A и B, то угол θ между ними можно выразить как:

cos(θ) = (A • B) / (|A| * |B|),

где A • B — скалярное произведение векторов, а |A| и |B| — их длины.

2. Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение двух векторов A и B — это операция, которая возвращает скалярное значение. Оно вычисляется как произведение длин векторов и косинуса угла между ними:

A • B = |A| * |B| * cos(θ).

Скалярное произведение используется для определения угла между векторами и для нахождения проекций одного вектора на другой.

3. Скалярный квадрат вектора

Скалярный квадрат вектора A обозначается как A • A и равен квадрату длины вектора:

A • A = |A|^2.

Это значение всегда неотрицательно и используется для вычисления длины вектора.

4. Свойства скалярного произведения

• Коммутативность: A • B = B • A.
• Ассоциативность относительно скалярного умножения: (kA) • B = k(A • B), где k — скаляр.
• Дистрибутивность: A • (B + C) = A • B + A • C.
• Скалярное произведение вектора с самим собой всегда неотрицательно: A • A ≥ 0.

5. Условие перпендикулярности двух векторов

Два вектора A и B перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

A • B = 0.

Это условие означает, что угол между векторами равен 90 градусам.

6. Условия для скалярного произведения

• а) Отрицательное число: Скалярное произведение двух векторов A и B будет отрицательным, если угол между ними находится в диапазоне от 90 до 180 градусов (90° < θ < 180°). Это указывает на то, что векторы направлены в разные стороны.
• б) Положительное число: Скалярное произведение будет положительным, если угол между векторами находится в диапазоне от 0 до 90 градусов (0° < θ < 90°). Это означает, что векторы направлены в одну сторону.