Все ребра правильной треугольной пирамиды равны. Какой косинус угла образуется между боковым ребром и плоскостью основания этой пирамиды?

Геометрия 11 класс Правильные пирамиды и углы между прямыми и плоскостями правильная треугольная пирамида косинус угла боковое ребро плоскость основания геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти косинус угла между боковым ребром правильной треугольной пирамиды и плоскостью основания, давайте рассмотрим несколько шагов.

Шаг 1: Понимание структуры правильной треугольной пирамиды

• Правильная треугольная пирамида состоит из основания в форме равностороннего треугольника и трех боковых граней, которые являются равнобедренными треугольниками.
• Все ребра пирамиды равны, что означает, что длина основания равна длине боковых ребер.

Шаг 2: Определение необходимых элементов

• Обозначим длину ребра пирамиды как a.
• Пусть A, B и C - вершины основания (равностороннего треугольника), а точка D - вершина пирамиды.
• Сначала найдем высоту основания. Высота равностороннего треугольника можно найти по формуле: h = (a * √3) / 2.
• Теперь найдем высоту пирамиды от точки D до плоскости ABC. Обозначим ее как h'.

Шаг 3: Определение угла между боковым ребром и плоскостью основания

• Косинус угла между боковым ребром (например, от D до A) и плоскостью основания можно найти, используя отношение высоты D до плоскости ABC к длине бокового ребра DA.
• Сначала найдем высоту h' пирамиды. Для этого используем теорему Пифагора. Поскольку все ребра равны, мы можем установить, что D находится над центром основания, и его высота h' может быть найдена из треугольника DAB.
• В этом треугольнике DA - боковое ребро, а AB - основание. Мы знаем, что AB = a, и DA = a. Высота h' будет равна √(DA² - (AB/2)²) = √(a² - (a/2)²) = √(a² - a²/4) = √(3a²/4) = (a√3)/2.

Шаг 4: Вычисление косинуса угла

• Теперь, когда у нас есть высота h' = (a√3)/2 и длина бокового ребра DA = a, можем найти косинус угла α:
• cos(α) = h' / DA = ((a√3)/2) / a = √3 / 2.

Таким образом, косинус угла между боковым ребром и плоскостью основания равен √3 / 2.