1)

Рассмотрим трапецию ABCD, где основаниями являются AD и BC, а диагонали трапеции параллельны плоскости альфа. Это означает, что плоскость, в которой расположены диагонали, также будет параллельна плоскости альфа. Таким образом, все стороны трапеции, включая ее основания, будут параллельны плоскости альфа.

Теперь, проведем через точки A и B параллельные прямые, которые пересекают плоскость альфа в точках E и F соответственно. Поскольку прямые EA и BF параллельны, и мы знаем, что две параллельные линии, пересеченные третьей линией, создают параллельные отрезки, то отрезки AB и EF также будут параллельны.

Таким образом, у нас есть четырехугольник EABF, в котором противоположные стороны AB и EF, а также EA и BF параллельны. Это значит, что четырехугольник EABF является параллелограммом, так как у него есть две пары параллельных сторон.

2)

Теперь перейдем к следующему вопросу, связанному с взаимным положением прямых a и b, которые пересекают параллельные плоскости альфа и бета. Важно понимать, что прямые могут быть либо параллельными, либо пересекающимися, либо скрещивающимися.

Если у нас есть две параллельные плоскости (в нашем случае альфа и бета),и они пересекаются третьей плоскостью, линии пересечения будут параллельны. Однако это не означает, что прямые a и b должны быть параллельны. Если они не пересекаются и не параллельны, они будут скрещивающимися. Это значит, что точки A, C, B и D не лежат в одной плоскости, и мы можем сделать вывод, что прямые a и b не пересекаются и не параллельны, а являются скрещивающимися.

3)

Теперь рассмотрим задачу с параллелепипедом ABCDA1B1C1D1, где все грани являются прямоугольниками. Дано, что длина ребра AD равна 4, DC равна 8, а CC1 равна 6. Нам нужно построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра DC и параллельной плоскости A B1 C1.

Обозначим точку M как середину ребра DC. Далее проведем линию MK, которая будет параллельна ребру DS1, и линию NH, которая будет параллельна ребру AD. Также проведем линию KE, которая будет параллельна ребру B1C1.

Важно отметить, что отрезки NH и KE равны, поскольку они параллельны и равны длинам сторон равных граней параллелепипеда. Аналогично, отрезки KM и KN будут равны, так как они делят ребра CC1 и BB1 пополам.

Теперь, чтобы найти длину отрезка KM, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник KSM, где длина SM равна 4 (половина от DC) и длина KS равна 3 (половина от CC1). Эти значения образуют египетский треугольник, и мы можем найти длину KM, которая равна 5.

Теперь, чтобы найти периметр сечения, мы суммируем длины всех его сторон: P = 2 * (NH + KM) = 2 * (4 + 5) = 18 (единиц длины).