Как найти длины двух хорд, которые проведены через точку A и касаются меньшей окружности, если угол между ними равен 60 градусам и радиус меньшей окружности равен r, при условии, что две окружности касаются внутренне в точке b, а ab - диаметр большей окружности?

Геометрия 4 класс Хорды и окружности длина хорд точка A меньшая окружность угол 60 градусов радиус R внутреннее касание точка B диаметр большей окружности геометрия 4 класс задачи по геометрии окружности хорд свойства окружностей Новый

Для решения данной задачи необходимо рассмотреть несколько важных аспектов, связанных с геометрией окружностей и свойствами хорд.

Шаг 1: Понимание условий задачи

• У нас есть две окружности: меньшая окружность с радиусом r и большая окружность, в которой диаметр ab.
• Окружности касаются внутренне в точке b.
• Две хорды проведены через точку A и касаются меньшей окружности, образуя угол 60 градусов между собой.

Шаг 2: Определение радиуса большей окружности

Поскольку ab является диаметром большей окружности, радиус R большей окружности равен половине длины отрезка ab. Из условия касания окружностей можно также вывести, что R = r + d, где d - расстояние от центра меньшей окружности до точки касания b.

Шаг 3: Использование свойств хорд

Хорды, проведенные через точку A и касающиеся меньшей окружности, будут равны, если угол между ними равен 60 градусов. Это можно объяснить с помощью теоремы о хордовой симметрии. Если угол между хордой и радиусом, проведенным к точке касания, равен 30 градусам (половина угла между хордой), то длины хорд можно найти через радиус меньшей окружности.

Шаг 4: Применение тригонометрии

• Обозначим длины хорд как L1 и L2.
• Согласно свойствам окружности, длина хорды может быть найдена по формуле: L = 2 * r * sin(θ/2), где θ - угол между радиусами, проведенными к концам хорды.
• В нашем случае угол между радиусами, проведенными к концам хорд, равен 60 градусам, следовательно, θ = 60 градусов.

Шаг 5: Вычисление длины хорд

• Подставляем значение угла в формулу: L = 2 * r * sin(30 градусов).
• Зная, что sin(30 градусов) = 0.5, получаем: L = 2 * r * 0.5 = r.

Итог:

Длина каждой из хорд, проведенных через точку A и касающихся меньшей окружности, равна r. Таким образом, обе хорды имеют одинаковую длину, равную радиусу меньшей окружности.