Для того чтобы решить эту задачу, давайте разберем, как Паша записывает числа. У нас есть два начальных числа: 1 и 1. Мы будем записывать числа, следуя правилу: каждую минуту Паша записывает последнюю цифру суммы последнего числа и удвоенного предпоследнего числа.

Давайте обозначим числа, которые Паша записывает, как a(n), где n - это номер минуты. Итак, мы имеем:

• a(1) = 1
• a(2) = 1

Теперь начнем записывать числа с третьей минуты:

1. Для a(3): a(2) + 2 * a(1) = 1 + 2 * 1 = 1 + 2 = 3. Последняя цифра - 3. Итак, a(3) = 3.
2. Для a(4): a(3) + 2 * a(2) = 3 + 2 * 1 = 3 + 2 = 5. Итак, a(4) = 5.
3. Для a(5): a(4) + 2 * a(3) = 5 + 2 * 3 = 5 + 6 = 11. Последняя цифра - 1. Итак, a(5) = 1.
4. Для a(6): a(5) + 2 * a(4) = 1 + 2 * 5 = 1 + 10 = 11. Последняя цифра - 1. Итак, a(6) = 1.
5. Для a(7): a(6) + 2 * a(5) = 1 + 2 * 1 = 1 + 2 = 3. Итак, a(7) = 3.
6. Для a(8): a(7) + 2 * a(6) = 3 + 2 * 1 = 3 + 2 = 5. Итак, a(8) = 5.
7. Для a(9): a(8) + 2 * a(7) = 5 + 2 * 3 = 5 + 6 = 11. Последняя цифра - 1. Итак, a(9) = 1.
8. Для a(10): a(9) + 2 * a(8) = 1 + 2 * 5 = 1 + 10 = 11. Последняя цифра - 1. Итак, a(10) = 1.

Мы видим, что числа начинают повторяться. Давайте запишем несколько следующих значений:

1. a(11) = 3
2. a(12) = 5
3. a(13) = 1
4. a(14) = 1
5. a(15) = 3
6. a(16) = 5
7. a(17) = 1
8. a(18) = 1

Мы заметили, что последовательность начинает повторяться с периодом 6: 3, 5, 1, 1, 3, 5. Теперь, чтобы найти a(50), нам нужно определить, какой номер в этом периоде соответствует 50-й минуте.

Период состоит из 6 чисел. Теперь найдем остаток от деления 50 на 6:

50 ÷ 6 = 8, остаток 2.

Это значит, что a(50) будет равно a(2), так как остаток 2 указывает на второе число в периоде.

Изначально мы определили, что a(2) = 1.

Ответ: Паша запишет число 1 в 50-ю минуту.