Чтобы найти координаты вершин треугольника, зная координаты его середины сторон, нам нужно воспользоваться свойством, что координаты середины отрезка можно найти по формуле:

M(x_m, y_m) = ((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2),

где M - середина отрезка, (x_1, y_1) и (x_2, y_2) - координаты концов отрезка.

Обозначим вершины треугольника как A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3). Точки (5; 2), (2; -3), (2; 1) будут нашими серединами сторон AB, BC и CA соответственно.

Теперь запишем уравнения для каждой из середины:

• Для середины AB: (5, 2) = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)
• Для середины BC: (2, -3) = ((x2 + x3)/2, (y2 + y3)/2)
• Для середины CA: (2, 1) = ((x3 + x1)/2, (y3 + y1)/2)

Теперь запишем каждое из уравнений в виде системы:

1. Из первого уравнения:
   • x1 + x2 = 10 (1)
   • y1 + y2 = 4 (2)
2. Из второго уравнения:
   • x2 + x3 = 4 (3)
   • y2 + y3 = -6 (4)
3. Из третьего уравнения:
   • x3 + x1 = 4 (5)
   • y3 + y1 = 2 (6)

Теперь у нас есть 6 уравнений. Мы можем решить их поэтапно. Начнем с уравнений (1) и (3):

Из уравнения (1) выразим x2:

x2 = 10 - x1 (7)

Подставим (7) в (3):

(10 - x1) + x3 = 4

x3 = 4 - 10 + x1

x3 = x1 - 6 (8)

Теперь подставим (8) в (5):

(x1 - 6) + x1 = 4

2x1 - 6 = 4

2x1 = 10

x1 = 5

Теперь найдем x2 и x3, подставив x1 в (7) и (8):

x2 = 10 - 5 = 5

x3 = 5 - 6 = -1

Теперь найдем y1, y2 и y3, используя уравнения (2), (4) и (6):

Из (2): y1 + y2 = 4

Из (4): y2 + y3 = -6

Из (6): y3 + y1 = 2

Выразим y2 через y1: y2 = 4 - y1 (9)

Подставим (9) в (4): (4 - y1) + y3 = -6

y3 = -6 - 4 + y1

y3 = y1 - 10 (10)

Теперь подставим (10) в (6): (y1 - 10) + y1 = 2

2y1 - 10 = 2

2y1 = 12

y1 = 6

Теперь найдем y2 и y3, подставив y1 в (9) и (10):

y2 = 4 - 6 = -2

y3 = 6 - 10 = -4

Таким образом, координаты вершин треугольника A, B и C:

• A(5, 6)
• B(5, -2)
• C(-1, -4)

Теперь вы можете проверить, что найденные координаты действительно соответствуют заданным серединам сторон треугольника!