Билеты по геометрии (итоговый зачет 7 класс)

Билет №1

Как появилась геометрия?

1. Сформулируйте и докажите один признак равенства треугольников.
2. Задача: Величины смежных углов относятся как 4:5. Найдите эти углы.
3. Задача: Докажите, что биссектрисa внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

Геометрия 7 класс Признаки равенства треугольников и свойства углов геометрия признак равенства треугольников смежные углы биссектрисa равнобедренный треугольник задачи по геометрии итоговый зачет 7 класс Новый

Как появилась геометрия?

Геометрия, как наука, появилась в Древнем Египте и Месопотамии, где люди начали изучать формы и размеры объектов. Она развивалась в основном из практических нужд: измерение земель, строительство пирамид и храмов. Позже, в Древней Греции, геометрия стала более теоретической, благодаря таким ученым, как Евклид, который систематизировал знания о геометрических фигурах и доказательствах.

Признак равенства треугольников

Один из основных признаков равенства треугольников — это признак по двум сторонам и углу (СУС). Он гласит, что если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника, и угол между этими сторонами равен, то треугольники равны.

Доказательство:

1. Пусть даны треугольники ABC и DEF, такие что AB = DE, AC = DF и угол A = угол D.
2. Построим треугольник DEF так, чтобы DE = AB, DF = AC и угол D равен углу A.
3. По построению, треугольники ABC и DEF совпадут, следовательно, ABC = DEF.
4. Таким образом, по признаку СУС, треугольники равны.

Задача: Величины смежных углов относятся как 4:5. Найдите эти углы.

Обозначим смежные углы как 4x и 5x. Поскольку смежные углы в сумме равны 180 градусам, мы можем записать уравнение:

1. 4x + 5x = 180
2. 9x = 180
3. x = 20

Теперь подставим значение x:

1. Первый угол: 4x = 4 * 20 = 80 градусов.
2. Второй угол: 5x = 5 * 20 = 100 градусов.

Таким образом, величины смежных углов равны 80 и 100 градусов.

Задача: Докажите, что биссектрисa внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник, где AB = AC, а угол A — внешний угол. Обозначим угол ACB как α, и угол ABC как β. Тогда угол A, который является внешним, равен β + α.

Биссектрисa внешнего угла делит его пополам, следовательно, угол между биссектрисой и стороной AB равен (β + α)/2.

Так как AB = AC, то угол ABC равен углу ACB, следовательно, углы при основании равны. Это значит, что биссектрисa внешнего угла параллельна основанию BC, так как соответствующие углы равны.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисa внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.