Как доказать, что треугольник равнобедренный, если медиана делит его на два треугольника с равными периметрами?

Геометрия 7 класс Треугольники и их свойства треугольник равнобедренный медиана доказательство равные периметры геометрия 7 класс Новый

Давайте разберемся, как доказать, что треугольник равнобедренный, если медиана делит его на два треугольника с равными периметрами.

1. Пусть у нас есть треугольник ABC, где AB = c, AC = b, а BC = a. Обозначим медиану, проведенную из вершины A к стороне BC, как AM. Медиана AM делит сторону BC пополам, то есть BM = MC = 1/2 * a.

2. Теперь мы можем найти периметры двух треугольников, которые образуются медианой AM. Первый треугольник - это ABM, а второй - ACM.

3. Периметр первого треугольника ABM будет равен: P₁ = AB + BM + AM = c + 1/2 * a + m.

4. Периметр второго треугольника ACM будет равен: P₂ = AC + CM + AM = b + 1/2 * a + m.

5. По условию задачи нам известно, что периметры этих треугольников равны: P₁ = P₂.

6. Подставим наши выражения для периметров: c + 1/2 * a + m = b + 1/2 * a + m.

7. Мы видим, что 1/2 * a и m сокращаются с обеих сторон уравнения, и мы получаем: c = b.

8. Это означает, что стороны AB и AC равны: c = b.

9. По свойству треугольников, если в треугольнике две стороны равны, то он является равнобедренным.

10. Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC является равнобедренным.

Итак, если медиана делит треугольник на два треугольника с равными периметрами, то это действительно указывает на то, что треугольник равнобедренный.