Как можно доказать, что диагональ квадрата со стороной образует угол 45°?

Геометрия 7 класс Углы и их свойства в геометрии диагональ квадрата угол 45 градусов доказательство в геометрии свойства квадрата геометрические доказательства Новый

Чтобы доказать, что диагональ квадрата образует угол 45° со стороной, давайте рассмотрим квадрат ABCD, где стороны квадрата равны и равны a.

1. Нарисуем квадрат:

• Пусть A(0, 0) - одна из вершин квадрата.
• B(a, 0) - следующая вершина на стороне AB.
• C(a, a) - следующая вершина на стороне BC.
• D(0, a) - последняя вершина на стороне CD.

2. Найдём координаты диагонали:

Диагональ AC соединяет вершины A и C, и её координаты будут:

• A(0, 0)
• C(a, a)

3. Найдём углы:

Чтобы найти угол между диагональю AC и стороной AB, мы можем воспользоваться понятиями векторов.

4. Запишем векторы:

• Вектор AB: от A до B - это (a - 0, 0 - 0) = (a, 0).
• Вектор AC: от A до C - это (a - 0, a - 0) = (a, a).

5. Найдём угол между векторами:

Угол между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения:

• Скалярное произведение векторов AB и AC: (a, 0) • (a, a) = a * a + 0 * a = a².
• Длина вектора AB: |AB| = sqrt(a² + 0²) = a.
• Длина вектора AC: |AC| = sqrt(a² + a²) = sqrt(2a²) = a * sqrt(2).

6. Используем формулу для нахождения косинуса угла:

Косинус угла θ между векторами можно найти по формуле:

cos(θ) = (AB • AC) / (|AB| * |AC|).

Подставим найденные значения:

• cos(θ) = a² / (a * a * sqrt(2)) = 1 / sqrt(2).

7. Находим угол:

Известно, что cos(45°) = 1/sqrt(2). Таким образом, мы можем заключить, что угол между диагональю и стороной квадрата равен 45°.

Таким образом, мы доказали, что диагональ квадрата образует угол 45° со стороной квадрата.