Чтобы доказать, что хорды АВ и СД равны, если расстояние от центра окружности O до этих хорд одинаково, мы можем воспользоваться свойствами окружности и хорд. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Определим хорды и расстояние: Пусть хорда АВ и хорда СД расположены в окружности с центром O. Обозначим расстояние от центра O до хорды АВ как d1, а расстояние до хорды СД как d2.
2. Запишем условие: По условию задачи известно, что d1 = d2. Это означает, что расстояние от центра окружности до обеих хорд одинаково.
3. Используем перпендикуляры: Проведем перпендикуляры из точки O до хорд АВ и СД. Обозначим точки пересечения перпендикуляров с хордой АВ как M, а с хордой СД как N. Таким образом, OM и ON – это перпендикуляры к хорам.
4. Применим теорему о равенстве отрезков: По свойству перпендикуляров, отрезки AM и MB равны (так как M - середина хорды АВ), и отрезки CN и ND равны (N - середина хорды СД). Следовательно, AM = MB и CN = ND.
5. Используем равные расстояния: Так как OM = ON (d1 = d2), и обе хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра, треугольники OMA и ONC равны по двум сторонам и углу между ними (по теореме о равных треугольниках).
6. Делаем вывод о равенстве хорд: Из равенства треугольников следует, что AM = CN и MB = ND. Сложив эти равенства, получаем, что AB = CD. Таким образом, хорды АВ и СД равны.

Итак, мы доказали, что если расстояние от центра окружности до хорд одинаково, то и сами хорды равны. Это свойство можно использовать для решения различных задач по геометрии.