Чтобы доказать, что точки A и B расположены на равном расстоянии от прямой a, когда прямая a проходит через отрезок AB в точке O, которая является серединой отрезка AB, мы можем воспользоваться свойствами перпендикуляров и симметрии. Давайте рассмотрим шаги этого доказательства.

1. Определим точки и отрезок:
   • Пусть точки A и B - это две произвольные точки на плоскости.
   • Пусть O - это середина отрезка AB, то есть AO = OB.
   • Прямая a проходит через точку O.
2. Проведем перпендикуляры:
   • Проведем перпендикуляр из точки A к прямой a и обозначим его пересечение с прямой a как точку A'.
   • Аналогично, проведем перпендикуляр из точки B к прямой a и обозначим его пересечение с прямой a как точку B'.
3. Рассмотрим треугольники:
   • Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника: треугольник OAA' и треугольник OBB'.
   • В этих треугольниках:
   • OA = OB (так как O - середина отрезка AB).
   • OA' = OB' (так как A' и B' - это перпендикуляры, и расстояние от точки до прямой всегда одинаково).
   • Угол OAA' = угол OBB' = 90 градусов (по определению перпендикуляра).
4. Применим теорему о равенстве треугольников:
   • По критерию равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) треугольники OAA' и OBB' равны.
   • Следовательно, OA' = OB'.
5. Заключение:
   • Таким образом, расстояние от точки A до прямой a равно расстоянию от точки B до прямой a, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы показали, что точки A и B действительно расположены на равном расстоянии от прямой a, если прямая a проходит через середину отрезка AB.